Пример 2. Задача о замене оборудования.

В определенный момент времени на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его использования предприятием, а также зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования при различном времени его использования приведены в таблице.

Зная, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентичного с установленным, составляют тыс. руб., а заменяемое оборудование списывается, составить такой план замены оборудования в течение 5 лет, при котором общая прибыль за данный период времени максимальна.

Таблица 10.3

	Время , в течение которого используется оборудование (лет)
	0	1	2	3	4	5
Годовой выпуск продукции в стоимостном выражении (тыс. руб.)	80	75	65	60	60	55
Ежегодные затраты , связанные с содержанием и ремонтом оборудования (тыс. руб.)	20	25	30	35	45	55

Решение. Здесь в качестве системы S выступает оборудование. Ее состояние определяется возрастом оборудования . В качестве управлений , выступают решения о замене и сохранении оборудования, принимаемые в начале каждого года. Пусть – решение о сохранении оборудования, – решение о его замене. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой и , при котором общая прибыль за 5 лет является максимальной.

На первом этапе решения при движении от начала 5-го к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования найдем условное оптимальное решение (управление), а на втором этапе решения, при движении от начала 1-го года к началу 5-го, из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования.

Для определения условных оптимальных решений запишем функциональное уравнение Беллмана в следующем виде:

, (10.5)

где – возраст оборудования к началу k-го года; – прибыль предприятия за k-ый год; в скобках указаны условные оптимальные решения.

Анализ состояния системы начнем с последнего пятого года ( ).

Допустимые состояния системы для этого случая таковы:

Рис. 10.2

Для каждого из этих состояний найдем величину прибыли. Предварительно запишем для уравнение (10.5)

.

Здесь отсутствуют слагаемые , т. к. следующего за пятым годом шестого года нет. Имеем

1)

2)

3)

4)

Полученные результаты сведем в таблицу 10.4

Таблица 10.4

		u
1	50	u1
2	35	u1
3	25	u1
4	20	u2

Проведем анализ состояния ситсемы для четвертого года ( ). Допустимые состояния системы для этого случая таковы:

Рис. 10.3

Запишем для уравнение (10.5)

Имеем

1)

2)

3)

Составим таблицу

Таблица 10.5

		u
1	85	u1
2	70	u2
3	70	u2

Проведем анализ состояния системы для третьего года ( ).

Допустимые состояния системы:

Рис. 10.4

Запишем для уравнение (10.5)

Имеем

1)

2)

В обеих строках получили одно и то же число 105. Выбор условно оптимального решения остается за лицом, принимающим решение. Составим таблицу.

Таблица 10.6

		u
1	120	u1
2	105	( )

Проведем анализ состояния системы для второго года ( ).

Рис. 10.5

Таблица 10.7

		u
1	155	u1

Согласно условию задачи в начальный момент времени установлено новое оборудование, следовательно, для первого года ( ), и .

Таблица 10.8

		u
0	215	u1

Таким образом, прибыль предприятия может составить 215 тыс. руб. Она соответствует следующему оптимальному плану.

Для первого года, когда возрвст оборудования , оптимальное решение естественное – – сохранить оборудование (см. Таблицу 10.8).

Второй год. Возраст оборудования к началу второго года и по таблице 10.7 имеем оптимальное решение – – сохранить оборудование.

Третий год. Возраст оборудования и по таблице 10.6 выбор оптимального решения зависит от лица, принимающего решение – либо – сохранить оборудование, либо – заменить оборудование.

Четвертый год. Возраст оборудования либо , либо в зависимости от принятого решения в третьем году. Тогда оптимальное решение – – заменить оборудование, если , либо – – сохранить оборудование, если (см. Таблицу 10.5).

Пятый год. Возраст оборудования либо , либо в зависимости от принятого решения в четвертом году. Тогда оптимальное решение в обоих случаях – – сохранить оборудование (см. Таблицу 10.4).

Ответ: тыс. руб. при следующем плане замены оборудования:

Таблица 10.7

	Годы пятилетки
	1	2	3	4	5
Оптимальное решение	Сохранить оборудование	Сохранить оборудование	Сохранить оборудование (Заменить оборудование)	Заменить оборудование (Сохранить оборудование)	Сохранить оборудование