Модели целочисленного линейного программирования. Метод Гомори

Решения ряда ЗЛП, являющихся моделями экономических задач, должны выражаться в целых числах. Например, решения задач, в которых неизвестные означают число изготовленных изделий, число станков при загрузке оборудования и многое другое. Поэтому возникли ЗЛП, требующие целочисленного решения. Они формулируются в виде (3.4) или (3.6) при дополнительном ограничении: – целые числа.

Рассмотрим некоторые методы решения таких задач.

1. Пусть ЗЛП содержит две неизвестные и решение, найденное геометрическим методом, нецелочисленное. Тогда в области допустимых решений строят целочисленную решетку. На ней находят вершины с целочисленными координатами, в которых значение целевой функции наиболее близко к оптимальному нецелочисленному решению. Для этого перемещают линию уровня либо до первой точки встречи с построенной целочисленной решеткой в случае, когда ищется минимум целевой функции, либо до последней точки встречи – когда ищется максимум.

2. В случае если компоненты оптимального решения, найденного симплекс-методом, оказываются нецелочисленными, их округляют до ближайших целых чисел. Однако в ряде случаев округление может привести к далекому от оптимального целочисленному решению. Поэтому используют специально разработанные методы. Один из них – метод отсечения.

3. Метод отсечения или метод Гомори состоит в том, что сначала ЗЛП решается без условия целочисленности. Если полученное решение целочисленное, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, называемое отсечением.

Опишем его построение. Пусть в оптимальном решении задачи ( ) компонента не является целой. Составим неравенство (отсечение)

, (9.1)

где – дробная часть числа.

Оно обладает свойствами:

а) линейное относительно неизвестных ,

б) отсекает найденный оптимальный нецелочисленный план,

в) не отсекает ни одного целочисленного решения.

Далее ЗЛП решается с учетом нового ограничения. Если полученное решение целочисленное, то задача решена. В противном случае добавляется новое ограничение и т. д.

Замечание. Если в оптимальном решении ЗЛП несколько нецелочисленных компонент, то из них выбирают компоненту с наибольшей целой частью.

Обратимся к примерам применения указанных методов к решению ЗЛП.

Задача о модернизации оборудования.

При модернизации оборудования в цехе выделено 72 м² для установки оборудования первого и второго типов. На установку одного комплекта оборудования первого типа требуется 3 м², на установку одного комплекта оборудования второго типа – 4 м². Причем оборудование первого типа приносит ежемесячный доход 2 млн. руб., а оборудование второго типа – 6 млн. руб. Определить количество комплектов оборудования первого и второго типов, обеспечивающее максимальную прибыль, при условии, что предприятие может приобрести не более 16 комплектов оборудования первого типа и не более 8 комплектов оборудования второго типа.

Решение. Составим ЭММ задачи. Пусть – количество устанавливаемого оборудования j-го типа, . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при условиях

где – целые числа.

Сначала решим задачу геометрическим методом.

На плоскости построим прямые:

или , и .

Очевидно, OABCD – многоугольник допустимых решений (см. рис. 9.1). Построим вектор . Перемещая линию уровня (на рис. 9.1 она изображена пунктиром), убеждаемся, что точка B – последняя точка встречи линии уровня с многоугольником OABCD. Найдем координаты точки B:

, .

Таким образом, – нецелочисленное оптимальное решение ЗЛП.

Рис. 9.1

Для нахождения целочисленного решения ЗЛП методом I построим целочисленную решетку на плоскости и заменим многоугольник OABCD многоугольником OAKLMNPD (см. рис. 9.1). Его вершина K будет последней точкой встречи с линией уровня, т. е. координаты точки K: и – оптимальное целочисленное решение ЗЛП.

Округляя , очевидно, получим такой же ответ задачи методом II.

Теперь найдем целочисленное решение методом Гомори.

Сначала решим задачу симплекс-методом. С этой целью приведем ее к каноническому виду, введя неотрицательные неизвестные , , . Получим систему ограничений:

(9.2)

, (9.3)

при которых требуется найти

Шаг 1: , , – базисные неизвестные; , – свободные неизвестные. Система ограничений (9.2) примет вид

(9.4)

Тогда (0; 0; 72; 16; 8) – базисное решение и .

Шаг 2: , , – базисные неизвестные; , – свободные неизвестные. Система ограничений (9.4) примет вид

(9.5)

Тогда (0; 8; 40; 16; 0) – базисное решение и примет значение .

Шаг 3: , , – базисные неизвестные; , – свободные неизвестные. Система ограничений (9.5) примет вид

(9.6)

Тогда – базисное решение и примет значение .

Так как в выражении F нет базисных переменных с положительными коэффициентами, то найденное базисное решение – оптимальное. Однако оно не удовлетворяет условию целочисленности. По методу Гомори сформируем отсечение по первому уравнению из (9.6), предварительно переписав его в виде:

.

Имеем

;

;

,

где [  ] – целая част числа.

Тогда отсечение (9.1) запишется в виде

(9.1)

или после введения в него дополнительной целочисленной неизвестной

. (9.1)

Шаг 4: , , , – базисные неизвестные; , – свободные неизвестные. Система ограничений (9.6) дополнится уравнением (9.1):

(9.7)

Базисное решение недопустимое, т. к. . Согласно применяемому методу, оно всегда получается недопустимым. Найдем допустимое базисное решение. Для этого переведем свободную неизвестную (или ) в базисную.

Шаг 5: , , , – базисные неизвестные; , – свободные неизвестные. Система ограничений (9.7) примет вид:

Тогда (13; 8; 1; 3; 0; 0) – базисное решение и примет значение .

Так как F не содержит положительных коэффициентов при свободных неизвестных, то найденное базисное решение оптимальное.

Ответ: , , .

Сформулируем ответ исходной экономической задачи.

Предприятие получит максимальную прибыль млн. руб., если установит в цехе единиц оборудования первого типа и единиц оборудования второго типа. При этом незанятая площадь в цехе составит  м², в резерве для установки единицы оборудования первого типа и ни одной единицы оборудования второго типа . Шестая компонента содержательного смысла не имеет.

Замечание. Для геометрической интерпретации на плоскости отсечения (9.1) необходимо входящие в него переменные и выразить через переменные и .

Имеем

или

.

Прямая l: , изображенная на рис. 9.1, проходит через точку K (13; 8), найденную методом I.