Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Определение 1. Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).
Условная
вероятность события А при условии, что
событие В произошло обозначается
символами
или
.
Определение
2.
Условной
вероятностью события А
при условии, что произошло событие В с
,
называется число
,
которое определяется формулой
.
Свойства условных вероятностей
1)
;
2)
;
3)
;
4) если
,
то
;
5)
.
Определение
3.
Событие
А
называется независимым от события В
с
,
если
,
т.е. вероятность наступления события А
не зависит от того, произошло событие
В
или нет.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило
.
В
частности для независимых событий
,
т.е. вероятность совместного наступления
двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили
.
В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий
.
Вычисление
вероятности появления хотя бы одного
из совместных событий
можно вычислять как разность между
единицей и вероятностью произведения
противоположных событий
:
.
В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Определение.
Набор событий
называется полной группой событий, если
они попарно несовместны и их сумма
составляет достоверное событие
Формула
полной вероятности.
Пусть события
образуют полную группу событий (
)
и событие А может произойти с одним и
только с одним из этих событий. Тогда
вероятность события А равна
.
Формула
Байеса.
Если событие А
произошло, то условные вероятности
(апостериорные) гипотез
вычисляются по формуле Байеса
,
где Р(А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.
Формула Бернулли
Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.
Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.
Простейшим
классом повторных независимых испытаний
является последовательность
независимых испытаний с двумя исходами
(«успех» и «неуспех») и
с
неизменными вероятностями «успеха»
(р) и «неуспеха»
в
каждом испытании (схема испытаний
Бернулли).
Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли
.
Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.
Наивероятнейшее
число наступлений события А
в n
испытаниях заключено между числами
и
:
.
Если
— целое число, то наивероятнейших чисел
два
и
.