34(1). Элементы математической логики: понятие логики, математическая логика. Виды математический логик. Высказывания. Закон тождества, закон противоречия.

Логика  — наука о законах и операциях пра­вильного мышления.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления

Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путём выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Началом (посылками) дедукции являются аксиомы или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы(«частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и её следствия. Дедукция — основное средство доказательства. Противоположно индукции.

Логические исчисления — теория формальных логических вычислений. Эта теория иначе называется ещё математической или формальной логикой.

Исторически логические исчисления были разработаны для теоретической формализации процесса доказательства в различных теориях.

Высказывание — термин математической логики, обозначающий формализованную структурированную запись мысли с помощью буквенных символов и логических связок, рассматриваемую с точки зрения истинностных значений. Это утверждение, для которого оценивается логическое значение: ложь или истина. Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами. Является основным объектом логики высказываний.

Закон тождества — закон логики, согласно которому в процессе рассуждения каждое осмысленное выражение (понятие, суждение) должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой его выполнимости является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идёт речь в данном рассуждении.

Закон не противоречия (закон противоречия) — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих либо противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере, одно из них необходимо ложно.

Математическая запись:

где   — знак конъюнкции,   — знак отрицания.

Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика.

35(2). Элементы математической логики: отрицание. Таблицы истинности для высказывания и его отрицания. Закон двойного отрицания

Отрицание - операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком  ¬

Таблицы истинности для высказывания и его отрицания

А – высказывание	Истинно	Ложно
¬А – отрицание А	Ложно	Истинно

Закон двойного отрицания  — положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то А верно». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания. В формализованном языке логики высказываний закон двойного отрицания выражается формулой

и в таком виде фигурирует обычно в перечне логических аксиом формальных теорий. В традиционной содержательной математике закон двойного отрицания служит логическим основанием для проведения так называемых доказательств от противного по следующей схеме: из предположения, что суждение А данной математической теории неверно, выводится противоречие в этой теории, затем на основании непротиворечивости теории делается вывод, что неверно «не А», и тогда по закону двойного отрицания заключают, что верно А. В рамках конструктивных рассмотрений, когда действует требование алгоритмической реализуемости обоснования математических суждений, закон двойного отрицания оказывается, вообще говоря, неприемлемым.

Закон двойного отрицания тесно связан с законом исключённого третьего, а также с так называемым законом Пирса. В определённом смысле все три закона эквивалентны. Так, в интуиционистском исчислении высказываний, где эти законы не являются тавтологиями, каждый из этих двух законов выводим из другого, а добавление любого из них в аксиоматику сразу приводит к классической логике. При этом однако, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны.