13. Связь между напряженностью электрического поля

и разностью потенциалов

Д ля установления этой взаимосвязи поступим следующим образом. Выберем в пространстве две близко расположенные

Рис. 7

точки поля 1 и 2 (рис. 7). Обозначим расстояние между этими точками через dr, а потенциалы каждой из точек соответственно через и . Разность потенциалов пусть будет равна d. Напряженность электрического поля в области

нахождения точек 1 и 2 охарактеризуем вектором Е.

Подсчитаем теперь работу по переносу некоторого заряда из точки 1 в точку 2. Это можно сделать двумя способами: с использованием разности потенциалов и с использованием напряженности поля. Итак, работа по переносу заряда из 1 в 2 может быть записана с учетом (13)

(16) С другой стороны

(17) Приравниваем правые части равенств (16) и (17) и получаем

(18) Формула (18) описывает взаимосвязь двух характеристик поля. Используя

. (22)

14. Потенциалы некоторых систем зарядов

Попробуем, пользуясь взаимосвязью потенциала с напряженностью поля и зная (19) закон изменения напряженности поля, найти потенциал поля плоского конденсатора.

Б

+

Х

х

удем искать потенциал поля плоского конденсатора относительно от­ри­цательно заряженной обкладки в произвольной плоскости, отстоящей на расстоянии x от этой обкладки (рис. 9). Введем ось X и направим ее вверх от отрицательно заряженной обкладки.

d

A

B

Рис. 9

-

Е

Напряженность поля направлена от по­ло­жи­тельно заряженной обкладки к отри­цательно заряженной и величина Е равна . Проекция Е на ось Х равна .

По (19) запи­шем для _х

. (23) Разность потенциалов между обкладками равна

, (24) где d – расстояние между обкладками.

15. Проводники в электрическом поле

При внесении проводника в электрическое поле носители заряда в нем приходят в движение под действием сил электрического поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, их назы­ва­ют индуцированными зарядами (см. раздел 1.1.). Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение зарядов продол­жа­ется до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю. Таким образом, всюду внутри проводника

Е = 0 (28) В соответствии с (19) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянен ( ) и равен потенциалу на его поверхности. В свою очередь, постоянство потенциала на поверхности проводника означает, что его поверхность является эквипотенциальной и силовые линии электри­чес­ко­го поля перпендикулярны к этой поверхности в каждой ее точке. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также обращается в нуль. На этом основана электростатическая защита. Если какой-то объект хотят защитить от воздействия внешних электростатических полей, его окружают проводящим экраном. Внутри экрана внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов, возникающих на его поверхности. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Рассмотрим замкнутую поверхность внутри проводника. Поле внутри проводника отсутствует, поток вектора Е через эту поверхность равен нулю и согласно теореме Гаусса алгебраическая сумма зарядов внутри по­­верхности тоже будет равна нулю. Таким образом, в любом месте внутри объема проводника отсутствуют избыточные заряды. Все они расположатся по поверхности проводника с некоторой плотностью .

Рассмотрим поверхность цилиндра, образующая которого нормальна к поверхности проводника, а основания, площадь которых dS расположены одно снаружи проводника, а одно внутри (рис. 10).

Рис. 10

Поток вектора Е через эту поверхность пред­ставляет собой поток через боковую поверхность (он равен нулю, т.к. нормаль к боковой по­верхности перпендикулярна к Е), поток через внутреннее основание (он равен нулю, т.к. внутри проводника поле отсутствует) и потока через внеш­нее основание (этот поток отличается от нуля). Т.к. вблизи провод­ника Е перпендикулярен поверхности, то поток через внешнее основа-

ние (он равен потоку через всю поверхность цилиндра) равен EdS и теорему Гаусса для этой поверхности можно записать

, откуда

(29) Формула (29) показывает, что напряженность поля вблизи проводящей по­верх­ности вне проводника определяется поверхностной плотностью заряда на нем. Заряды же эти распределяются по поверхности неравномерно. Наи­боль­шая их плотность имеет место вблизи заострений. У таких мест по (29) велика и Е. Это приводит к интересному явлению «стекания» заряда с метал­ли­ческих острий. В больших полях воздух вблизи острий ионизируется. Ионы с тем же знаком заряда, что и у острия, движутся от острия, ионы с противоположным знаком движутся к острию и уменьшают его заряд. Дви­жущиеся от острия ионы увлекают нейтральные молекулы воздуха, отчего возникает электрический ветер. Его можно обнаружить по отклонению пламени свечи, поднесенной к острию.