20. Таблица основных производных. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмирование.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^j(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)`

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

-Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

21.Дифференциал функции.

Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х₀ наз-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращения ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy.

Из опр дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде:

∆y ;

_{ОПР:д-ом ф-ции у=f(x) в данной т.х,соответ-ему приращению аргумента ∆х называется число,обозначающее dy=f’(x)*∆x.}

_{dy есть ф-ция от ∆х.С другой стороны если предавать х разные значения,то ди-ал можно расматривать как ф-цию от переменной х.}

_{f’(x)= tg α}

_{dy=M1N* tg α=TN.}

_{По определению:dx=∆x,тогда: dy= f’(x)* dx.}

_{Инвариантность формы первого дифференциала.}

_{Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции}

_{dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,}

_{так как u'dx = du. То есть}

_{dy = f'(u)du.}

_{Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.}

22.Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков:

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O, то ф-ция f’(x):xf’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обозначается f ”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N(x_O) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰(x_O)=f(x_O).

Замечание: Существование производной порядка n требует того чтобы существовала производная порядка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция xf^N-1(x) непрерывна в точке x_O, а при n2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Дифференциалы высших порядков:

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d²y, т.е. d²y=f‘‘(x)(dx)². Диф. d(d^n-1y) от диф. d^n-1y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. dⁿy.

Опр: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет.