16. Точки разрыва функции и их классификация.

Точки в которых ф-ция обладает свойством непрерывности-точки разрыва.

Разрывы функций классифицируются следующим образом:

т.х_0-точка устранимого разрыва ф-ции f(x),если в этой точке lim(x x₀)f(x),но он f(х₀),либо ф-ция неопределена в ней.

Разрывы функций классифицируются следующим образом:

Разрыв первого рода. Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечныеодносторонние пределы,не равные между собой:

lim(x->x₀+0) f(x)≠lim(x->x₀-0) f(x).

Разрыв второго рода. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов ф-ции не существует или = .

Ф-ция-кусочно-непрерывна на [а,б],если она непрерывна во всех внутренних точках данного отрезка,за исключением быть может точек конечного разрыва первого рода и имеет правый предел в т.а,и левый в т.б.

Ф-ция кусочно-непрерывна на интервале(всей числовой прямой),если она кусочно-непрерывна на любом отрезке,содержащемся в данном интервале.

17. Производная функции в точке, ее геометрический и физический смысл.

_{Опр1. Если существует конечный предел аргумента отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, то он называется производной ф-ции в точке х0 и обозначается f ꞌ(x0).}

_{f ꞌ(x0)= lim(∆x->0)∆y/∆x=lim(∆x->0)f(x0+∆x)-f(x0)/∆x.}

Если  x€(a;b), Ǝ f ꞌ(x),то f ꞌ(x)-ф-ция определяется в (a;b).

_{Опр3. Правой(левой) произв.ф-ции y=f(x) называется правый(левый) предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента,при ∆х->0.}

_{f ꞌ(x0+0)=lim(∆x->+0)∆y/∆x}

_{f ꞌ(x0-0)=lim(∆x->-0)∆y/∆x}

_{Т. Ф-ция имеет в точке х0 производную f ꞌ(x) тогда и только тогда, когда в этой точке существует односторонние производные, равные между собой и равные f ꞌ(x0).}

_{Физический смысл производной:}

_{Какова бы ни была зависимость y=f(x), производная y’ выражает скорость изменения у при изменении х}

_{Геометрический смысл производной:}

Тангенс угла наклона касательной проведённый к графику функции

f(x) в точке х0 есть геометрический смысл производной.

18. Дифференцируемость функции.

Опр: Ф-ия дифференцируема в точке х₀ , если приращение ф-ии в этой точке можно представить в виде:

, А – const.

Т: Для дифференцирования ф-ии в т. х₀ , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

Существование производной и дифференцируемость являются равносильными понятиями.

Т2: _{f (x) дифференц. В т.х0→непрер. в т. х0.НО:обратное утверждение не верно.}

19.Правила дифференцирования.

Обозначаем f(x) за U, a g(x) за V.

T1. Если ф-ции U=U(x) и V=V(x) дифф-мы в данной точке х, то их сумма(разность, произведение и частное) также дифф-мы в этой точке х и имеют место формулы:

1. ;

2. , где - постоянная;

3. ;

4. ;

Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Т2. Правило дифферениирования сложной ф-ции:

Пусть ф-ция у=f(x) дифф в точке х, а ф-ция z=g(x) дифф в соответствующей точке у=f(x), тогда сложная ф-ция z=g(f(x))

дифф-ма ф точке х, причём имеет место формула:

g(f(x))ꞌ=g ꞌ(f(x))*f ꞌ(x).

Т3. Пусть ф-цияf(x) дифф-а в данной точке х и пусть в некоторой окрестности этой точки существует обратная ф-ция х=f^-1(y), тогда обратная ф-ция также является дифф-й в соответствующей

точке у=f(x),и имеет место формула:

(f^-1(y))ꞌ=1/f ꞌ(x)