Задача 5.

Динамика убыточности по страхованию домашнего имущества в регионе характеризуется следующими показателями:

Год	1	2	3	4	5	6
Убыточность со 100 руб. страховой суммы, руб.	8	7	9	8	10	12

Требуется:

1. Оценить степень устойчивости наблюдаемой тенденции изменения уровня убыточности, используя коэффициент корреляции рангов Спирмэна.

2. Определить тип колебаний убыточности.

3. На основе результатов проведенного анализа убыточности страховой суммы рассчитать нетто-ставку и рисковую надбавку. При наличии устойчивой тенденции для описания линии тренда использовать линейную функцию. Указать уровень надежности полученной нетто-ставки, объяснить причины применения выбранного размера рисковой надбавки.

4. Определить тариф-брутто при условии, что нагрузка составляет 8% от брутто-ставки.

Решение.

1. Определяем наличие тенденции по динамике абсолютных приростов уровня убыточности

Абсолютный прирост

…

-1

+2

-1

+2

+2

Стабильность абсолютных приростов свидетельствует о наличии прямолинейной зависимости между уровнем ряда и временем.

2. Для оценки наличия тенденции изменения уровня убыточности страховой суммы можно воспользоваться значением коэффициента корреляции рангов Спирмэна:

 = 1 -

где

n – число наблюдений за убыточностью страховой суммы,

d_i – разность рангов уровней убыточности и номеров периодов времени.

Для расчета коэффициента Спирмэна определяем ранги для значений убыточности:

Ранги для значений убыточности

2,5

1

4

2,5

5

6

Так как в 1 и 4 периодах наблюдался одинаковый уровень убыточности, ранги для этих уровней находятся как среднее арифметические из двух соседних рангов. В нашем случае это (2+3)/2=2,5.

 = 1 - = 0,814

Таким образом, значение коэффициента корреляции рангов свидетельствует о наличии четко выраженной тенденции в изменении уровня убыточности страховой суммы, следовательно, наблюдается второй тип колебаний убыточности, при котором за основу нетто-ставки принимается прогнозируемый по уравнению тренда уровень убыточности на тот год, для которого рассчитывается тариф.

2. Линейная функция имеет вид:

q_(i) = a₀ + a_1*i

Рассчитаем параметры линейной функции с помощью метода наименьших квадратов. Имеем систему уравнений:

a₀n + a₁i = q_i

a₀i + a₁i² = q_ii

i=21, i²=91, q_i=54, q_ii=203

6a₀ + 21a₁ = 54

21a₀ + 91a₁ = 203, откуда a₀= 6,2, a₁= 0,8

Таким образом, линия тренда изменения уровня убыточности страховой суммы представлена функцией:

q_(i) = 6,2 + 0,8i

Устойчивость выявленной тенденции оценим с помощью коэффициента колеблемости тренда:

V_q(i) = S_q(i):q,

где q – среднегодовой уровень убыточности за период;

S_q(t) -среднее квадратическое отклонение фактических уровней убыточности от выравненных по полученному уравнению тренда:

Среднегодовой уровень убыточности равен

руб.

Значение выравненных уровней убыточности страховой суммы по полученному уравнению составят:

Выравненые значения убыточности	7	7,8	8,6	9,4	10,2	11
Фактические значения убыточности	8	7	9	8	10	12
Отклонение фактических уровней от выравненных	+1	-0,8	+0,4	-1,4	-0,2	+1

Среднее квадратическое отклонение убыточности

= 0,98

Коэффициент колеблемости тренда:

V_q(t) = 0,98 : 9 *100% = 10,89%, следовательно устойчивость полученного тренда достаточно высокая, поэтому примем гарантию безопасности  равной 0,99.

3. Нетто-ставка при втором типе колебания убыточности рассчитывается по формуле:

U` = q_(i) + (;n)*S _q(i)

где

(;n) - критерий надежности, с определенной вероятностью () гарантирующий не превышение размера возмещения над объемом собранных страховых взносов, зависящий от количества наблюдений n.

Период (n)/ доверительная вероятность ()	0,80	0,90	0,95	0,975	0,99
3	2,972	6,649	13,640	27,45	68,740
4	1,592	2,829	4,380	6,455	10,448
5	1,184	1,984	2,850	3,854	5,500
6	0,980	1,596	2,219	2,889	3,900

q₍₇₎ = 6,2 + 0,8*7 = 11,8

U` = 11,8 + 3,9*0,98 = 15,62

4. Брутто-ставка определяется по формуле

где f-доля нагрузки к нетто-ставке:

U= 15,62 / (1-0,08)= 16,98 руб.

Таким образом, с каждых 100 рублей страховой суммы страхователь должен заплатить 16,98 рубля.

Задача 6.

В процессе наблюдения над убыточностью страховой суммы при страховании жилых домов от огня в течение 9 лет были получены следующие результаты:

Номер года	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Убыточность со 100 руб. страховой суммы, руб.	1,5	4	3	6	2	5	4,5	5	6

Определить:

1. среднегодовой уровень убыточности;

2. нетто-ставку (с доверительной вероятностью 0,95);

3. брутто-ставку, если известно, что нагрузка по данному виду страхования составляет 20%.

Решение. 1.Среднегодовой уровень убыточности равен

руб.

2. Нетто-ставка исчисляется по формуле

где -среднее квадратическое отклонение убыточности:

= =1,54.

()– критерий надежности, с определенной вероятностью () гарантирующий не превышение размера возмещения над объемом собранных страховых взносов.

Доверительная вероятность, 	0,84	0,90	0,95	0,98	0,9986
Критерий надежности, 	1,0	1,3	1,645	2,0	3,0

Следовательно,

=4,11+1,645*1,54= 6,64 руб.

3. Брутто-ставка определяется по формуле

где f-доля нагрузки к нетто-ставке:

U= 6,64/ (1-0,2)= 8,3 руб.

Следовательно, с каждых 100 рублей страховой суммы необходимо заплатить 8,3 руб. страховых взносов.

Задача 7.

Страховая компания проводит страхование жилых домов от пожаров. Среднее число договоров ежегодно равно 10.500 (n). Вероятность пожара равна 0,0025 (d_c). Средняя страховая сумма составляет 7.250 усл.ден.ед. (S). Среднее страховое возмещение - 4.900 усл.ден.ед.(W). Среднее квадратическое отклонение страхового возмещения 900 усл.ден.ед. ( _w). Доля нагрузки в тарифе 15% (f). Рассчитать основу нетто-ставки (U₀`), рисковую надбавку (U<sub>p</sub>`), нетто-ставку (U`) и брутто-ставку (U), пользуясь методикой Росстрахнадзора. Гарантия безопасности должна составлять 0,90 ().

Решение.

1. Основа нетто-ставки рассчитывается по формуле:

U₀`=W:S * d_c *100= 4.900:7.250*0,0025*100=0,169 ден.ед. или 16,9 ден.ед. со 100 ден.ед. страховой суммы

2. Рисковая надбавка для каждого риска при наличии данных о среднеквадратическом отклонении страхового возмещения находится по формуле:

U_p` = U<sub>0</sub>`*()*

U_p` = 0.169*1.3* = 0,044

(0,90)=1,3 (см. выше)

3. Нетто-ставка находится по формуле:

U`= U<sub>0</sub>`+ U_p` = 0,169+0,044 = 0,213

4. Брутто-ставка определяется по формуле

где f-доля нагрузки к нетто-ставке:

U=0,213/(1-0,15)= 0,25 ден.ед..

Таким образом, с каждых 100 ден.ед. страховой суммы страхователь должен заплатить 0,25 ден.ед. взносов.

Задача 8.

Страховая компания проводит страхование жилых домов от пожаров и страхование моторных лодок от механических повреждений. По каждому виду страхования имеется следующая информация:

а) по страхованию домов – вероятность наступления страхового случая 0,01, средняя страховая сумма 500 усл.ден.ед., среднее возмещение 375 усл.ден.ед., ежегодное количество договоров 10.000, доля нагрузки в тарифе 30%;

б) по страхованию лодок - вероятность наступления страхового случая 0,04, средняя страховая сумма 140 усл.ден.ед., среднее возмещение 56 усл.ден.ед., ежегодное количество договоров 3.000, доля нагрузки в тарифе 30%.

Определить нетто- и брутто-ставки по каждому виду страхования при гарантии безопасности 0,95.

Решение.

1. Основа нетто-ставки определяется одинаково для обоих видов страхования:

U₀`₁=W:S * d_c 100= 375:500*0,01*100 = 0,75 ден.ед. со 100 ден.ед страховой суммы

U₀`₂=W:S * d_c 100= 56:140*0,04*100 = 1,6 ден.ед со 100 ден.ед страховой суммы

2. Рисковая надбавка рассчитывается по формуле расчета рисковой надбавки для страхового портфеля, т.к. страховщик осуществляет несколько видов страхования:

U_p` = U<sub>0</sub>`*()*

где

() – критерий надежности, зависящий от уровня вероятности,

 - коэффициент вариации страхового возмещения, который при отсутствии данных о среднеквадратическом отклонении возмещений рассчитывается по формуле:

 = ,

где j=1…m – количество рисков, по которым проводится страхование

 = = 0,1001

Следовательно,

U_p`₁ = 0,75*1,645*0,1001 = 0,1235

U_p`₂ = 1,6*1,645*0,1001 = 0,2635

3. Нетто-ставка находится по формуле:

U`= U<sub>0</sub>`+ U_p`

U`₁= 0,75+0,1235=0,8735

U`₂= 1,6+0,2635=1,8635

4. Брутто-ставка определяется по формуле

где f-доля нагрузки к нетто-ставке:

U₁=0,8735/(1-0,3)= 1,8635 ден.ед.. со 100 ден.ед. страховой суммы

U₂=1,8635/(1-0,3)= 2,6621 ден.ед. со 100 ден.ед. страховой суммы

Задача 9.

Рассчитайте размер страховой выплаты при получении застрахованным травмы, если известно, что страховая сумма по договору составляет 1.000 рублей, а в результате травмы:

а) застрахованный лишился кисти правой руки;

б) застрахованному присвоена 2 группа инвалидности.

Решение.

а) Сумма страховой выплаты (W) = страховая сумма (S) х коэффициент нетрудоспособности (К_н)

Коэффициент нетрудоспособности определяется по таблицам коэффициентов потери трудоспособности отдельного страховщика или по государственным таблицам.

Опираясь на данные таблицы коэффициентов нетрудоспособности, приведенной в главе 5, получим:

W = 1.000*0,6 = 600 рублей, т.е. при потери застрахованным правой кисти и размере страховой суммы в 1.000 руб., страховая выплата составит 600 рублей.

б) Коэффициент нетрудоспособности по проценту общей инвалидности установлен страховщиком в размере (данные страховой компании «Спасские ворота»):

1 группа инвалидности – 100%

2 группа – 80%

3 группа – 60%

W = 1.000*80% = 800 рублей, т.е. при получении застрахованным 2 группы инвалидности и размере страховой суммы в 1.000 руб., страховая выплата составит 800 рублей.

Задача 10.

В отчетном периоде среднегодовая численность работающих на предприятии составила 200 человек, из которых производственные травмы получили 10 человек с утратой трудоспособности на 120 человеко-дней.

Определить показатели уровня травматизма: частоту травматизма, тяжесть травматизма, коэффициент нетрудоспособности (количество человеко-дней нетрудоспособности на одного работающего).

Решение.

Частота травматизма (ЧТ) = число пострадавших/ среднесписочная численность работающих х 100% = 10/200х100% = 5%, т.е. из 100 человек 5 - получили травмы.

Тяжесть травматизма (ТТ) = человеко-дни нетрудоспособности / число несчастных случаев = 120/10 = 12 дней.

Коэффициент нетрудоспособности (К_н) = человеко-дни нетрудоспособности / среднесписочная численность работающих = 120/200 = 0,6 дня, т.е. на одного работающего приходится менее 1 дня нетрудоспособности.

Задача 11.

Имеются данные страховых компаний о добровольном страховании имущества, тыс. руб.:

Район	Базисный период			Отчетный период
	Страхо-вая сумма S0	Страхо-вые выплаты W0	Коэффи-циент убыточ-ности q0	Страхо-вая сумма S1	Страхо-вые выплаты W1	Коэффи-циент убыточ-ности q1
1 2	40000 80000	112 128	? ?	56000 84000	140 168	? ?
Итого	120000	240	-	140000	308	-

Определить:

1) коэффициенты убыточности по каждому району;

2) индивидуальные индексы убыточности по каждому району;

3) по двум районам индексы средней убыточности:

а) переменного состава,

б) постоянного состава,

в) структурных сдвигов.

Решение.

1. Коэффициент убыточности ;

Район	Коэффициент убыточности
	q0	q1
1 2	0,0028 0,0016	0,0025 0,0020
Итого	-	-

2. i_q=q₁/q₀

По району 1: i_q1 = 0,8929, или 89,3%, т.е. убыточность снизилась на 10,7%.

По району 2: i_q2=1,25 - убыточность возросла на 25%.

2. а) Индекс средней убыточности переменного состава равен

т.е. средняя убыточность возросла на 10% за счет влияния двух факторов: изменения коэффициента убыточности и размера страховых сумм.

Этот индекс можно представить иначе, заменив сумму выплат произведением страховой суммы на коэффициент убыточности: W=S*q.

Тогда индекс средней убыточности переменного состава примет вид

б) Индекс средней убыточности постоянного состава равен

или 105,8%,

т.е. средняя убыточность возросла на 5,81% за счет увеличения страховых выплат (убыточности).

в) Влияние размера страховых сумм на динамику средней убыточности изучается с помощью индекса структурных сдвигов:

или 104%.

Средняя убыточность дополнительно повысилась на 4% за счет роста страховой суммы в первом и во втором районах.

Индекс структурных сдвигов можно определить, используя взаимосвязь индексов:

1,1/ 1,058=1,04.

Задача 12.

Имеются данные страховых организаций района о добровольном страховании имущества граждан:

Страховое поле (Nmax ) 256 250

Число заключенных договоров

(число застрахованных объектов) (N) 102 500

Сумма застрахованного имущества (S), тыс. руб. 198 350

Поступило страховых взносов (V), тыс. руб. 2800

Страховые выплаты (W), тыс. руб. 1680

Число пострадавших объектов (n_п ) 2050

Определить показатели, характеризующие деятельность страховых организаций.

Решение.

1. Степень охвата страхового поля d = N / Nmax = 102 500/256 250 = 0,4, или 40%.

2. Вероятность страхового случая dc = n_п / N = 2050 / 102 500 = 0,02, или 2%.

3. Средняя страховая сумма S = S/ N = 198 350 / 102 500 = 1,9351 тыс. руб.

4. Средняя сумма страхового взноса V = V / N = 2800 / 102 500 = 27,317руб.

5. Средняя сумма страховых выплат W= W / n_п = 1680/ 2050 = 819,512 руб.

6. Коэффициент выплат Кв = W /V = 1680/ 2800 = 0,60, или 60%.

7. Убыточность страховой суммы q = W / S = 1680 / 198 350 = 0,0084648 = 0,0085 или 85 коп. на 100 руб. страховой суммы.

8. Коэффициент тяжести страховых событий Кт = W /S = 819,512 / 1935,1 = 0,4235, или 42,35%.

Задача 13.

Результаты работы страховых организаций в I полугодии характеризуются следующими данными:

№ организации	Страховой взнос, тыс. руб., V	Коэффициент выплат, KB	Выплаты, тыс.руб.,W=KB*V
1 2 3	400 500 700	0,5 0,6 0,2	200 300 140
Итого	1600	-	640

Определить:

1)средний коэффициент выплат;

2)абсолютную сумму дохода страховых операций;

3)относительную доходность.

Решение.

1. Коэффициент выплат рассчитывается по формуле

K_B=W/V

Средний коэффициент выплат составит

или 40%

2.Абсолютная сумма дохода определяется разностью взносов и выплат

тыс. руб.

3.Относительная доходность (процент доходности) равен

или 60%.

Эту величину можно определить иначе:

К_д=1-К_В=1-0,4=0,60,или 60%.

Задача 14.

В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя страховая сумма увеличилась на 12%, среднее страховое возмещение возросло на 5%, доля пострадавших объектов – на 2,4%. Определите индекс убыточности страховой суммы.

Решение.

Индекс убыточности страховой суммы находится по формуле:

q = d_с*W/S

I_q = q₁/q₀ = (d_с1*W₁/S₁):(d_с0*W₀/S₀)

Так как d_с1/d_с0 = I_dn, W₁/W₀ = I_W, S₁ /S₀ = I_S, то

I_q = I_dс* I_W / I_S = 1,024*1,05/1,12 = 0,96

Таким образом, убыточность страховой суммы снизилась на 4%.