Завдання для самостійного опрацювання до задачі №5.

Представте загальний алгоритм розв’язання транспортної задачі, не прив’язуючись до певного прикладу.

Творче завдання до задачі №5

Перевірте наявність в транспортній задачі іншого оптимального рішення, при якому змінюється схема перевезень, але цільова функція не збільшується (розв'язати задачу ще декілька раз, видаляючи раніше отримані результати). Обґрунтуйте рішення.

Питання для експрес-контролю якості засвоєння знань до задачі №5.

1. До якого класу задач відноситься транспортна задача, в чому їх особливість?

2. У якому випадку транспортна задача вважається закритою, а в якому – відкритою?

3. Як виглядає цільова функція транспортної задачі?

4. Які обмеження вводяться в транспортній задачі?

5. Що в транспортній задачі позначається змінними x_ij?

6. Чи можуть змінні в транспортній задачі бути від'ємними або дробовими?

7. Яким методом знаходиться допустиме рішення транспортної задачі, в чому він полягає?

8. Яким методом знаходиться оптимальне рішення транспортної задачі, в чому він полягає?

9. Як визначити, що отримане рішення транспортної задачі є оптимальним?

10. Де в авіаційній (туристичній) галузі знаходить прикладне застосування транспортна задача?

Аналітично-розрахункова задача №6

Оптимальний розподіл людських ресурсів підприємства

І. Вихідні дані

На підприємстві організується фінансово-економічний відділ і необхідно розподілити працівників за вакантними посадами. Кожний працівник може виконувати будь-яку роботу, але з різним ступенем майстерності. Якщо на певну посаду призначити працівника саме тої кваліфікації, яка необхідна для роботи на ній, то вартість виконання роботи буде нижча, ніж при призначенні на дану посаду працівника невідповідної кваліфікації.

Компетентна комісія оцінила витрати, пов’язані з майбутнім розподілом працівників. В табл. 6.1 наводяться умовні оцінки вартості c_іj призначення i-го працівника на j-ту посаду. Змінна x_ij =1 у випадку призначення i-го працівника на j-ту посаду, або x_ij =0 – в іншому випадку.

Вам, як менеджеру з персоналу, доручено знайти оптимальний розподіл працівників за всіма посадами, що забезпечує мінімальну вартість виконання робіт.

ІІ. Завдання до ситуації

1. Побудуйте рівняння цільової функції задачі.

2. Побудуйте рівняння обмежень задачі.

3. Визначте мінімальну вартість виконання робіт працівниками.

4. Визначте оптимальний розподіл працівників за посадами, що забезпечує мінімальну вартість виконання робіт.

5. Перевірте, чи виконуються задані обмеження.

ІІІ. Інформаційне забезпечення задачі

Таблиця 6.1

Оцінки вартості призначення працівників на певні посади

Працівники	Посади
	Економіст		Бухгалтер		Касир		Менеджер
Іванов І.П.	x11	10	x12	40	x13	60	x14	30
Петров С.М.	x21	90	x22	70	x23	100	x24	90
Сидоров В.Н.	x31	40	x32	50	x33	110	x34	70
Федотов Р.Д.	x41	80	x42	70	x43	80	x44	50

ІV. Алгоритм розв’язання задачі

1. Задача про призначення персоналу є приватним випадком транспортної задачі, в якій число пунктів відправлення дорівнює числу пунктів призначення, тобто, транспортна таблиця має форму квадрата. Крім того, у кожному пункті призначення обсяг попиту дорівнює 1, і величина пропозиції кожного пункту відправлення також дорівнює 1. Задача про призначення персоналу може бути розв'язана з використанням методів лінійного програмування або алгоритму рішення транспортної задачі. Однак через особливу структуру даної задачі був розроблений спеціальний алгоритм, що одержав назву угорського методу.

Математична модель задачі про призначення персоналу:

- цільова функція:

L =  min, n = m; (6.1)

- обмеження:

= 1, ;

= 1, ; (6.2)

, ;

x_ij ≥ 0, .

Для прикладу маємо наступну модель:

L = 10x₁₁ + 40x₁₂ + 60x₁₃ + 30x₁₄ + 90x₂₁ + 70x₂₂ + 100x₂₃ + 90x₂₄ + 40x₃₁ +

+ 50x₃₂ + 110x₃₃ + 70x₃₄ + 80x₄₁ + 70x₄₂ + 80x₄₃ + 50x₄₄ min; (6.3)

x ₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ = 1;

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ = 1;

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ = 1;

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ + x₄₄ = 1; (6.4)

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 1;

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ = 1;

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ = 1;

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ = 1;

x11 ≥ 0; x12 ≥ 0; x13 ≥ 0; x14 ≥ 0;

x21 ≥ 0; x22 ≥ 0; x23 ≥ 0; x24 ≥ 0;

x31 ≥ 0; x32 ≥ 0; x33 ≥ 0; x34 ≥ 0;

x41 ≥ 0; x42 ≥ 0; x43 ≥ 0; x44 ≥ 0.

2. Знаходимо в кожній строчці мінімальний елемент і віднімаємо його від кожного елементу строчки (табл. 6.2).

Таблиця 6.2

Знаходження мінімальних елементів в строчках та їх віднімання

Працівники	Посади
	Економіст		Бухгалтер		Касир		Менеджер		min
Іванов І.П.	x11	0	x12	30	x13	50	x14	20	10
Петров С.М.	x21	20	x22	0	x23	30	x24	20	70
Сидоров В.Н.	x31	0	x32	10	x33	70	x34	30	40
Федотов Р.Д.	x41	30	x42	20	x43	30	x44	0	50

3. Знаходимо в кожному стовпці мінімальний елемент і віднімаємо його від кожного елементу стовпця (табл. 6.3).

Таблиця 6.3

Знаходження мінімальних елементів в стовпцях та їх віднімання

Працівники	Посади
	Економіст			Бухгалтер		Касир		Менеджер
Іванов І.П.	x11	0		x12	30	x13	20	x14	20
Петров С.М.	x21	20		x22	0	x23	0	x24	20
Сидоров В.Н.	x31	0		x32	10	x33	40	x34	30
Федотов Р.Д.	x41	30		x42	20	x43	0	x44	0
min	0		0			30		0

3. Якщо в кожній строчці та кожному стовпці знаходиться один „0”, тобто, кожний працівник призначається тільки на одну посаду, то оптимальне рішення знайдене. В іншому випадку:

– проводимо мінімальне число прямих через строки та стовпці, щоб всі „0” були викресленими (табл. 6.4);

– обираємо мінімальний невикреслений елемент (=10), віднімаємо його від кожного невикресленого елементу і додаємо до кожного елементу, що стоїть на перетині проведених прямих (табл. 6.5).

Якщо на останньому кроці оптимальне рішення не знайдене, то процедуру проведення прямих необхідно повторювати до тих пір, поки не буде отримане допустиме рішення.

Таблиця 6.4