3.Некоторые из важнейших равносильностей алгебры другими словами.
Многие законы из основных равносильностей в математическо-логической форме выражают основные законы формальной логики, сформулированные ещё Аристотелем.
З а к о н т о ж д е с т в а (xºє x) утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует. З а к о н п р о т и в о р е ч и я (x ÙЩ`` ºє 0) говорит о том, что никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием. З а к о н и с к л ю ч е н и я т р е т ь е г о ( x ÚЪ`` ºє 1) показывает нам, что для каждого высказывания имеется лишь 2 логические возможности: это высказывание истинно или ложно, третьего не дано. Согласно з а к о н у с н я т и я д в о й н о г о о т р и ц а н и я ( ºє x) , отрицать отрицание какого-либо высказывания – то же, что и утверждать это высказывание. Например, высказывание «Неверно, что 2 на 2 НЕ равно 4» означает то же, что и «2 на 2 равно 4».
А з а к о н ы к о м м у т а т и в н о с т и и а с с о ц и а т и в н о с т и конъюнкции и дизъюнкции аналогичны одноименным законам сложения и умножения чисел. Иногда дизъюнкцию так и называют логическим сложением, а конъюнкцию - логическим умножением.
В силу з а к о н о в и д е м п о т е н т н о с т и в алгебре логики нет «показателей степеней» и «коэффициентов»: конъюнкция одинаковых «сомножителей» равносильна одному из них; и дизъюнкция одинаковых «слагаемых» равносильна одному из них.
4.Равносильные преобразования.
Используя равносильности I, II и III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой.
Такие преобразования формул называются равносильными.
Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.
Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.
Рассмотрим пример:
Доказать
равносильность
.
Используя
равносильности I, II и III групп запишем
цепочку равносильных формул:
*здесь знаком & обозначается конъюнкция (ÙЩ)
5.Принцип двойственности.
Обратим внимание на характер соответствия между данными равносильностями, объединенными в пары:
1) x ÙЩ x ºє x; x ÚЪ x ºє x – законы идемпотентности;
2) коммутативность:
x ÙЩ y ºє y ÙЩ x, x y y x;
3) ассоциативность:
x ÙЩ (y ÙЩ z) ºє (x ÙЩ y) ÙЩ z, x ÚЪ (y ÚЪ z) ºє (x ÚЪ y) ÚЪ z
4) дистрибутивность:
x ÙЩ (y v z) ºє x ÙЩ y ÚЪ x ÙЩ z , x ÚЪ (y ÙЩ z) ºє (x ÚЪ y) ÙЩ (x ÚЪ z) 5)
закон де Моргана (закон инверсии или отрицания):
В этих соответствиях проявляется так называемый принцип двойственности. Две формулы, не содержащие знаков ®® и ««,называются двойственными, если каждую из них можно получить из другой заменой ÙЩ,ÚЪ,1,0 соответственно на ÚЪ,ÙЩ,0,1.
Принцип двойственности утверждает: если 2 формулы, не содержащие знаков ®® и «« равносильны, то двойственные им формулы тоже равносильны.
Например, для формулы 0 двойственной является формула 1, а для формулы хÙЩ0- формула хÚЪ1; убедившись, что хÙЩ0ºє0, согласно принципу двойственности получаем равносильность хÚЪ1ºє1.