Ориентации базисов в пространстве

Базис в пространстве называется правым (или, что то же самое, упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой), если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки (рис.1.33,а). Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой) (рис. 1.33,б).

Отметим следующие свойства: если тройка некомпланарных векторов   — правая, то тройки, получающиеся "циклической" перестановкой трех векторов   — также правые, а тройки, получающиеся перестановкой двух векторов  или заменой одного вектора противоположным (например,   — левые).

Модуль вектора. Длина вектора.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле |{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2}.

Пример вычисления модуля вектора (длины вектора) Найти длину вектора {a} = {2;4}. Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2}=sqrt{4+16}=sqrt{20}=2sqrt{5}.

Так в случае пространственной задачи модуль вектора {a} = {x_1;y_1;z_1} можно найти по следующей формуле |{a}| = sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.

Пример вычисления модуля вектора (длины вектора) Найти длину вектора {a} = {2; 4; 4}. Решение: |{a}| = sqrt{2^2+4^2+4^2}=sqrt{4+16+16}=sqrt{36}=6.

Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение:  – векторы  и  ортогональны.

Определение. Тройка векторов  называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов  называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора  на плоскость, в которой лежат первые два вектора  и , кратчайший поворот первого вектора  ко второму  происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

                 

                                    рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7  изображена левая тройка векторов :

                    

                                          рис.7.

Определение. Базис  векторного пространства  называется ортонормированным, если  ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

                     рис.9.

Любой вектор можно разложить по этому базису:

          .

10

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

 

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

     

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.