9
Координаты вектора в пространстве и базис
Базисом
в пространстве называются
три некомпланарных вектора 
,
взятые в определённом порядке (рис.1.32).
Эти векторы
называются базисными.
Пусть
в пространстве задан базис
.
Построим прямые 
,
содержащие базисные векторы
соответственно.
Без ограничения общности можно считать,
что эти прямые пересекаются в одной
точке (в противном случае можно было
взять любые пересекающиеся в одной
точке прямые 
,
параллельные прямым
соответственно,
поскольку проекции вектора на параллельные
прямые равны. Тогда любой вектор 
можно
однозначно представить в виде суммы
своих проекций: 
,
где 
—
векторы, принадлежащие прямым
соответственно
(см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции
по
базисам на соответствующих прямых (см.
разд.1.3.1), находим: 
.
Подставляя эти разложения в равенство
,
получаем
(1.4) |
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема
1.5 (о разложении вектора по базису в
пространстве). Любой
вектор
может
быть разложен по базису
в
пространстве, т.е. представлен в виде
(1.4), где числа 
определяются
однозначно.
Коэффициенты
в
разложении (1.4) называются координатами
вектора
относительно
базиса
(число 
,
называют абсциссой, 
—
ординатой, а 
—
аппликатой вектора
).
Например, числа 
являются
координатами вектора 
(
—
абсцисса, 
—
ордината, 
—
аппликата вектора 
).
Базисные векторы , отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером.
Замечания 1.6
1. Базис
на прямой, на плоскости, в пространстве
определяется неоднозначно. Например,
если
—
базис в пространстве, то система
векторов 
при
любом 
также
является базисом.
2. Следующие свойства выражают геометрический смысл линейной зависимости и линейной независимости векторов:
а) два (и более) коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны;
два линейно независимых вектора не коллинеарны;
б) три (и более) компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны;
три линейно независимых вектора не компланарны;
в) четыре (и более) вектора линейно зависимы.
Докажем,
например, последнее свойство. Пусть 
—
произвольные векторы. Если первые три
вектора 
линейно
зависимы, то и вся система
—
линейно зависима. Если же векторы
линейно
независимы, то согласно пункту 2,"б"
они не компланарны и, следовательно,
образуют базис в пространстве. Тогда
вектор 
можно
разложить по этому базису, т.е. представить
в виде линейной комбинации векторов
.
В этом случае система векторов
также
линейно зависима (см. свойство 4 в разд.
1.1.3).
3. Понятие базиса непосредственно связано с понятием линейной независимости. Базис представляет собой упорядоченную совокупность линейно независимых векторов:
а) на прямой — это один линейно независимый вектор (см. пункт 1 замечаний 1.2);
б) на плоскости — это два линейно независимых вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"а");
в) в пространстве — это три линейно независимых вектора, взятые в определённом порядке (см. пункт 2,"б").
4. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это полная система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве) в том смысле, что любой вектор (на прямой, на плоскости, в пространстве) линейно выражается через базисные векторы.
5. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве), так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
6. Базис — это полная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве).