4.3. Определение моментов переключения в линейных оптимальных управлениях.

Принцип максимума дает только качественную сторону измене­ния управляющего воздействия. Инженеру, проектирующему систему управления, этого явно недостаточно. Он должен знать и количественные характеристики оптимального алгоритма, чтобы на их основании сконструировать управляющее устройство. Если пред­полагается применить разомкнутую систему, то для конструирования управляющего устройства достаточно знать моменты переключения t₁, t₂, . . ., t_n и максимальное значение управляющего воздействия U_max.

Максимальное управляющее воздействие обычно бывает задано, а моменты переключения необходимо определить.

Определение моментов переключения будем излагать, следуя, в основном, работе [8].

Моменты переключения зависят от многих факторов, например:

1) от вектора состояний объекта в начальной и конечной точках. Этот факт не требует особых пояснений, так как чем больше расстояние между и , тем больше потребуется времени на его преодоление при прочих равных условиях;

2) от допустимого значения вектора управляющих воздействий U_max . Чем больше абсолютная величина этого вектора, тем быстрее будет протекать процесс;

3) от параметров, характеризующих объект управления, т. е. от его постоянных времени T₁, Т₂, . . ., Т_n и коэффициента передачи k;

4) от вектора возмущающих воздействий , т.е. от помех. Таким образом, следует получить функцию вида

(4.37 )

Определение зависимости моментов переключения от многих параметров довольно сложно. Трудности возрастают при определении влияния на них возмущающих воздействий.

Упростим несколько задачу и будем искать моменты переключе­ния как функцию , при неизменных параметрах объекта управ­ления и отсутствии возмущений. Тогда будем иметь линейное диф­ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое описывает некоторый объект, соответствующий структурной схеме, изображенной на рис. 4.2, а:

. (4.38)

Начальное состояние объекта при t = 0 характеризуется векто­ром , конечное - вектором

Требуется за минимальное время перевести вектор состояния из в . Известно, что для этого нужно п интервалов управления, где знаки должны чередоваться (n - 1) раз. На интервалах управления |u| = U_max , следовательно, требуется определить п моментов переключения, включая время окончания управления. Для этого воспользуемся методом стыкования решений дифференциальных уравнений со знакопеременной правой частью.

Решение уравнения (4.37) хорошо известно

,

где α_i - корни характеристического уравнения - вещественные и неположительные.

Записываем решение на конце последнего интервала управления при t = t_n . В этот момент все координаты должны соответствовать вектору

(4.39)

где - постоянные интегрирования на последнем интервале. Верхний индекс в постоянных обозначает номер интервала.

Имеем п неизвестных постоянных интегрирования и п уравнений. Из (4.39) находим постоянные интегрирования . Стыкуем решения на границе последнего и предпоследнего интервалов

(4.40)

Стыкование решений можно произвести, так как все координаты непрерывны. Система (4.40) решается относительно Подставляя значение i=1,2,... ,п из системы (4.39) в систему (4.40), получаем п уравнений с неизвестными , которые и определяем.

Стыкуем решения на следующем интервале

(4.41)

Отсюда определяем . Значения , определенные из (4.40), подставляем в (4.41) и получаем n уравнений, содержащих п неизвестных . Продолжаем делать такие исключения до первого интервала. Значения , определяются из начальных условий при t = 0:

(4.42)

В результате этих действий исключаются постоянные интегри­рования. Остается система из п трансцендентных уравнений с не­известными t₁, t₂,…, t_n. Полученную систему уравнений назовем функцией оптимального управления, которая в общем виде имеет вид

(4.43)

Рассмотренная система уравнений разрешима относительно мо­ментов переключения, так как число неизвестных равно числу урав­нений. При стыковании решений дифференциальных уравнений получается неизвестных, из них n² — неизвестных постоянных интегрирования, п — неизвестных моментов переключения. Но также получается и уравнений. Действительно, имеется (п - 1) моментов смены знака и два момента, определяющих начало и конец управления, т.е. всего n-1+2=n+1 моментов времени. Для каждого момента составляется n уравнений. Таким образом, всего будем иметь уравнений, которых достаточно для исключения постоянных интегрирования и определения моментов переключения.

Основная трудность в определении оптимальных управлений состоит в том, что уравнения, определяющие функцию Т, являются трансцендентными и разрешить их относительно моментов переклю­чения можно только численными методами.

Для закрепления методики получения функции оптимального управления решим конкретный пример для объекта, который опи­сывается дифференциальным уравнением второго порядка

(4.44)

Корни характеристического уравнения:

По теореме об «п» - интервалах для оптимального управления не­обходимо иметь два интервала управления и одну смену знака. Обоз­начим конец второго интервала через t₂ , момент переключения – t_{1 .}

Начальные условия при . Конечное значение координат: Управление сделаем максимально возможным, т.е. Примем, что первый интервал положительный, а второй — отрицательный. Запишем решение на конце второго интервала

(4.45)

где , так как последний интервал отрицательный. Стыкуем решение на момент переключения t₁

(4.46)

Запишем решение на начало первого интервала при t=0

(4.47)

где , так как первый интервал положительный.

Исключим из полученных шести уравнений постоянные ин­тегрирования . Из системы (4.45) находим:

;

Из системы (4.46) получаем

Из системы (4.47) определяем

После подстановки значений в их разности по­лучим

(4.48)

В приведенном частном случае функция оптимального управле­ния содержит два неизвестных в виде моментов времени t₁ и t₂ . Из (4.48) видно, что функция оптимального управления зависит от и

Рассмотрим теперь объект управления, который описывается дифференциальным уравнением

(4.49)

По теореме об п интервалах следует иметь два интервала управ­ления и одну смену знака. Опять необходимо получить систему уравнений для определения t₁ и t_{2 .} Это делается с помощью исключения постоянных интегрирования. Примем начальные условия при t=0, : первый интервал положителен, второй отрицателен, конечное значение координат и _, .

Записываем решение на конце второго интервала

(4.50)

Стыкуем решение в момент времени t₁

или

(4.51)

или

Записываем решение на начало первого интервала, т. е. при t=0,

Исключая постоянные интегрирования и из систем (4.50) и (4.51), получаем функцию оптимального управления

(4.52)

В данном случае функция оптимального управления выражается системой двух алгебраических уравнений. Это говорит о том, что совершается только полезная работа, а энергия в объекте управления не запасается.

В таблице приведены функции оптимального управления для дифференциальных уравнений до третьего порядка включительно с нулевыми начальными условиями. Данные таблицы взяты из [8].

Из найденной функции оптимального управления необходимо определить моменты переключения. Если система

уравнений, содержащая моменты переключения, алгебраическая, то она решается в общем виде относительно моментов переключения. То же самое можно сказать, если система уравнений содержит только одно трансцендентное уравнение. Если же имеется два и более трансцендентных уравнений, то система в общем виде не разрешима относительно моментов переключения.

При наличии цифровой вычислительной машины определение моментов переключения с любой точностью не вызывает затруднений. Однако не всегда в распоряжении инженера может быть цифровая машина. Кроме этого, в некоторых случаях проще решить систему несложных уравнений, чем готовить программу вычислений для ЦВМ и настраиваться на ней.

Приведем численный графоаналитический метод определения моментов переключений, точность которого вполне достаточна для инженерных приложений. Покажем это на примере системы урав­нений, которая после подстановки значений корней примет вид

Решим эти уравнения относительно t₁

Задаваясь значениями t₂ , из полученных уравнений определяем t₁ и строим кривые t₁=f_α1(t₂), t₁=f_α2(t₂), для различных T_i (рис.4.8). Точка пересечения этих кривых даст искомое решение, т. е. t₁ и t₂.

Данным методом относительно просто получаются решения для уравнений не выше третьего порядка. Для более высоких порядков уравнений целесообразно прибегать к цифровым вычислительным машинам, тем более что методика решений таких уравнений достаточно разработана.

t₁

t₂

Рис.4.8 Решение системы

трансцендентных уравнений,

определяющих функцию

оптимального управления

Определим моменты переключения для структурной схемы, изображенной на рис. 4.2, б. Для нее также пригоден метод стыкования решений дифференциальных уравнений со знакопеременной частью. Не делая вывода в общем виде, который аналогичен предыдущему, покажем определение моментов переключения для двух звеньев. Звенья описываются следующими уравнениями:

(4.53)

где

Требуется перевести объект из положения x₁=x₂ =0 при t =0 в положение х₁ = х_1n, х₂ = х_2n за минимальное время. Известно, что для этого нужно два интервала, причем первый примем положительным. Момент переключения обозначим через t₁ , конец второго интервала — t₂.

Записываем решения на момент t₂

(4.54)

Отсюда определяем

Стыкуем решения на момент времени t₁

(4.55)

Группируя, имеем

(4.56)

Определяем и из начальных условий

(4.57)

Подставляем значения постоянных интегрирования из (4.54) и (4.55) в (4.56)

(4.58)

Преобразуем (4.58)

(4.59)

Система уравнений (4.59) аналогична системе (4.48). Решение (4.59) следует провести приближенно рассмотренным графическим методом.

Обратимся к структурной схеме, представленной на рис. в. Найдем моменты переключения для двух звеньев, которые описыва­ются следующими уравнениями:

(4.60)

где

Начальные условия при t=0 x₁=x₂=0. Конечное состояние находится на линии x₁+x₂=M.

Для управления таким объектом требуется один интервал уп­равления. Определяем его из решений дифференциальных уравнений и условия попадания на линию М

(4.61)

Иначе можно записать:

Отсюда графическим методом находится момент переключения t₁.