3.7. Способы нахождения фазовых траекторий.

Синтез оптимальных систем обычно проводится в фазовом пространстве, поэтому необходимо уметь получать фазовые траектории, т.е. находить их уравнения. При получении уравнений фазовых траекторий предполагается, что управляющие воздействия имеют вид единого скачка.

Предположим, что объект управления состоит из двух последовательно включенных звеньев, уравнения которых имеют вид:

(3.41)

Требуется определить уравнение фазовой траектории, т.е. функцию .

Первый способ. Разделим почленно уравнения звеньев

(3.42)

Проинтегрируем полученное выражение

(3.43)

Постоянную интегрирования С определяем из начальных условий при .

, отсюда

(3.44)

Подставляя значение постоянной интегрирования (3.44) в (3.43), окончательно получим уравнение фазовой траектории.

(3.45)

Второй способ. Уравнения для фазовых траекторий не, всегда интегрируются. Тогда можно получить выражение для фазовой траектории, исключая время из решений для отдельных координат. Записываем решение для х₁ из (3.41)

(3.46)

Определяем постоянную интегрирования С₁ из начальных условий при t=0, x₁=x₁₀

.

Подставим С₁ в (3.46):

. (3.47)

Решаем второе уравнение из (3.41), учитывая х₁:

;

(3.48)

Из начальных условий при t=0, x₂=x₂₀ находим постоянную C₂:

Подставим значение С₂ в решение (3.48):

(3.49)

Из решения для x₁ определяем:

Подставляем эти значения в решение для х₂:

(3.50)

Естественно, что уравнение (3.50) для фазовой траектории не отличается от уравнения (3.10), полученного первым способом.

Третий способ. Покажем другой вариант исключения времени из решений дифференциальных уравнений.

Возьмем объект, который описывается следующей системой уравнений:

(3.51)

Запишем решения для х₁ и х₂.

(3.52)

где

Определив постоянные интегрирования из начальных условий при t=0, x₁=x₁₀, x₂ =x₂₀ подставив в (3.52), получим:

(3.53)

Из решения (3.53) для x₁ определяем

(3.54)

Подставляем (3.54) в решение (3.53) для x₂

(3.55)

Из выражения (3.54) определяем время

(3.56)

Аналогично исключаем из решения (3.53) для x₂

(3.57)

Так как фазовая траектория строится при одинаковых моментах времени, то выражения (3.56) и (3.57) можно приравнять, получив уравнение фазовой траектории:

(3.58)

Четвертый способ. Выражение (3.58) довольно сложно и неудобно для расчетов, так как относительно переменных оно получилось в неявной форме. Поэтому иногда удобно задавать уравнения фазовых траекторий в параметрической форме. Примером такого задания может служить система решений (3.52). Находя при одинаковых t значения x₁ и x₂, можно построить фазовую траекторию.

Пятый способ. Бывают случаи, когда уравнение для фазовой траектории не интегрируется, а из решений не исключается время. Особенно часто встречаются такие случаи, когда объект описывается системой нелинейных уравнений. Для качественной оценки фазового портрета применяется метод изоклин.

Рассмотрим объект, который описывается следующей системой уравнений:

(3.59)

Разделим второе уравнение на первое:

(3.60)

Проинтегрировать полученное уравнение фазовой траектории довольно сложно. Поэтому построим фазовый портрет методом изо­клин. Сущность метода состоит в следующем. Приравняем произ­водную некоторому постоянному числу m. Этому же числу будет равна и правая часть уравнения (3.60)

(3.61)

Уравнение (3.61) является уравнением некоторой кривой в плоскости x_2­, x₁. В любой точке этой кривой производная постоянна и равна m.

З

Рис. 3.10 Фазовые траектории, построенные методом изоклин

адаемся числами m₀=0, m=m₁, m=m₂,…m=m_i. Для этих чисел решаем уравнение (3.61). В результате получим семейство парабол (рис.3.10). На каждой параболе отложим отрезки с наклоном, соответствующим производной .

Примем, что начальные условия нулевые, т. е. при t=0, x₁=x₂=0. В нулевой точке производная равна нулю, так как т_о=0. Плавной кривой соединим отрезки на параболах т₁, m₂, . . ., т_i (см. рис. 3.10, кривая 1). Получим интегральную кривую, которая является фазовой траекторией. Если взять другие начальные условия, то найдем другую фазовую траекторию (кривая 2).

Для точного построения фазовой траектории необходимо построить много изоклин, т.е. линий равных значений производных. Это связано с большим объемом вычислительной работы. Поэтому метод изоклин удобно применить для выяснения качественной стороны некоторого процесса. Обратим внимание на то, что методом изоклин строятся фазовые портреты только на плоскости, т. е. для объектов, которые описываются уравнениями не выше второго порядка.

Шестой способ. Для расчетов процессов весьма полезными могут быть графо-аналитические приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Наиболее распространен метод А. В. Башарина, который был успешно использован для анализа и синтеза нелинейных систем электропривода.

Сущность метода состоит в следующем. Заменим в системе урав­нений (3.59) дифференциалы приращениями:

Рис. 3.11 Графо-аналитический метод решения нелинейного уравнения

После несложных преобразований получим

(3.62)

Построим в координатных осях х₁, х₂ статическую характеристику (рис. 3.11).

Возьмем на статической характеристике точку О. Отложим от нее отрезок и проведем луч под углом α до пересечения со статической характеристикой. Рассмотрим полученный треугольник АВС. Катет АС равен приращению , катет А В — разности .

Определяем угол а

(3.63)

где т_х2 и т_х1 — масштабные коэффициенты. С учетом равенств (3.62) получаем

откуда

(3.64)

Таким образом, угол луча а зависит от масштабов и выбранного отрезка времени . Физически угол а характеризует инерционность объекта.

З

Рис. 3.12. Построение фазовой траектории графо-аналитическим методом

аранее задаваясь , можно определить угол построения а и графически решить дифференциальное уравнение. Покажем, как это сделать. Возьмем оси х₁, х₂ и отложим в них статическую характеристику (рис. 3.12). Выберем момент времени таким, чтобы угол а равнялся 2—3°. Определив , найдем приращения , которые будут одинаковые. Разобьем ось х₁ на отрезки . Положим, что начальные условия нулевые, т. е. , . Отложим приращение , полученное за первый отрезок времени , от начала координат и проведем луч под углом а до пересечения с характеристикой . Луч отсекает на статической характеристике приращение , полученное за время (точка 1). Откладываем новое приращение , сносим точку 1на линию 2 и получаем точку 2. Из точки 2 опять под углом а проводим луч и получаем новое приращение за второй от­резок времени . Продолжение построения показано на рис. 3.12 стрелками. Отложим точки, соответствующие приращениям и , за одинаковые промежутки времени .

Соединив их, построим фазовую траекторию , которая показана на рис. 3.12 жирной линией. Естественно, что эта траектория практически не отличается от траектории, полученной методом изоклин. Однако решение дифференциального уравнения здесь проведено более точно. Кроме того, сразу можно получить и переходный процесс, если в осях х₂, t отложить , соответствующие .

Точность метода зависит от квалификации чертежника, состояния инструментов и выбранного угла построения а. Метод обладает систематической погрешностью, которая накапливается с увеличением шагов построения. Однако, как показали конкретные расчеты оптимальных процессов, для инженерной практики точность метода вполне приемлема. Достоинством его является то, что он применим к решению дифференциальных уравнений высокого порядка. В дальнейшем при расчете нелинейных оптимальных систем будем ориентироваться на этот способ.