4.5. Нахождение моментов переключения в нелинейных оптимальных управлениях.

Как уже отмечалось, анализ и синтез управления объектами, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, представляет большие трудности. Это связано с тем, что нет общих методов решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Если система нелинейных дифференциальных уравнений интегрируется, то определение моментов переключения можно найти аналитически. В противном случае следует применить тот или иной приближенный метод. Чтобы показать методику определения моментов переключения, обратимся к простейшему объекту, состоящему из двух последовательно соединенных звеньев, которые описываются следующей системой уравнений:

(4.78)

где .

Последним уравнением описываются резервуары со свободным истечением жидкости.

Требуется перевести координаты объекта из начального состоя­ния при в конечное и за минимальное время. Как показывалось, для оптимального управления необходимо два интервала и одна смена знака. Следовательно, необходимо определить моменты переключения и .

Находим по первому способу уравнения фазовых траекторий при

(4.79)

Сделаем в (4.79) замену для разделения переменных

Подставляя в нелинейное уравнение, имеем при и = 1

(4.80)

или

(4.81)

Интегрируя (4.81)

(4.82)

Для сведения интеграла к табличному делаем новую подстановку и=z² в (4.82)

(4.83)

Интегрируя (4.83) и делая обратные замены, получим

(4.84)

Проведя такое же решение при u = - 1, имеем

(4.85)

Постоянную интегрирования находим из начальных условий, a из условия прохождения фазовой траектории через точку .

Рис.4.15. Фазовые траектории

при управлении нелинейным

объектом.

Вид фазовых траектории в координатных осях показан на рис.4.15. Из оптимальной фазовой траектории ОАВ находим координаты переключения .

Так как известны , то, зная характер движения координаты , можно определить моменты переключения из следующих соотношений:

(4.86)

Моменты переключения определены относительно легко, так как координата имеет простой закон изменения во времени. Однако построить фазовые траектории трудно, поскольку выражения для них достаточно громоздки. Кроме этого, само уравнение фазовых траекторий, хотя и с помощью двух подстановок, удалось про­интегрировать. Если уравнения для фазовых траекторий не интегрируются, то целесообразнее всего применить для нахождения мо­ментов переключения и фазовых траекторий графоаналитический метод.

Запишем уравнения (4.78) в приращениях:

(4.87)

Так как имеется два звена, то и построения следует вести в двух координатных системах . Отметим, что зависимость представляет собой прямую линию, совпадающую с осью ординат.

О

Рис.4.16. Нахождение фазовых траекторий и процессов в оптимальной системе графоаналитическим методом

тложим в координатных осях значения . От­метим точки начального и конечного состояний и на статических характеристиках. Определяем угол наклона лучей построения, учитывая, что ,

(4.88)

Начнем построение одновременно с начала первого и с конца второго интервала. Из точек а и 1 в осях проводим лучи по­строения под углом . Получим приращения и . Прираще­ние откладываем от точки О, а приращение от точки в осях , . Теперь из этих точек под углом проводим лучи по­строения. Построение ведем до тех пор, пока не получим в коорди­натных осях , . точку , а в координатных осях точку , u точку , т. е. точку стыкования приближенных решений. Для более точного решения в окрестности точек и желательно уменьшить прира­щение времени . Это приведет к уменьшению угла наклона лучей и к более точному стыкованию.

Возьмем координатные оси , и , и отложим в них прира­щения и соответствующие приращениям . Очевидно, что это будут оптимальные процессы по координатам и , которые показаны на рис. , б. Моменты переключения определяются суммированием для положительного и отрицательного интервалов.

Если соединить точки, соответствующие приращениям и , то получим фазовую траекторию (см. рис. , а), где точки и являются координатами переключения.

Из построения можно найти аналог производной

Откладывая в координатных осях и аналог производной соответственно , построим приближенно фазовую траекторию (рис. 4.16, в).

Таким образом, за одно построение удалось получить исчерпыва­ющие сведения об оптимальном управлении, т.е. найдены моменты переключения и , переходные процессы по всем координатам, фазовые траектории и координаты переключения и . Это является большим преимуществом метода. Даже при расчете линейной системы пришлось бы решить систему трансцендентных уравнений для определения и , четыре дифференциальных уравнения для получения процессов и а также фазовых траекторий и .

Несколько сложнее найти моменты переключения и фазовые тра­ектории для объектов, которые описываются дифференциальными уравнениями выше второго порядка. Моменты смены знака управ­ляющего воздействия, в этом случае ищутся методом последователь­ных приближений.

Графоаналитическим способом можно легко рассчитать моменты переключения при ограничении координат. Пусть система состоит из двух последовательно включенных звеньев, каждое из которых описывается нелинейным дифференциальным уравнением:

(4.89)

Считаем, что начальные условия нулевые, а конечные

На управляющее воздействие наложено ограничение .

Т

б)

Рис.4.17. Нахождение фазовых траекторий и алгоритма управления графоаналитическим методом.

ребуется перевести систему из начального состояния в конечное за минимальное время при ограничении . Для этого необходимо два интервала и один участок постоянства . Возьмем две координатные системы и отложим в них нелинейные характеристики и (рис.4.17,а). В первой координатной системе отложим и , наметим ограничения и . Определим углы построения и для первого и второго уравнений.

Начнем построение из граничных точек при и . Дальнейший ход указан стрелками. При достижении значения управление меняется скачком от до . На фазовой плоскости , получаем траекторию а, b, с, d c ограничением координаты . Времена переключения подсчитываются по количеству приращений на отдельных участках: время разгона до находится суммированием на участке от до b; время движения при суммированием на участке фазовой траектории b, с; время торможения — суммированием на участке с, d. Зная моменты переключения, построим алго­ритм управления (рис.4.17 ,6).