4.4. Определение моментов переключения при дополнительных ограничениях, накладываемых на координаты.

До сих пор ограничения накладывались только на управляющие воздействия. Такие ограничения приводили к тому, что сумма членов дифференциального уравнения объекта была ограничена

При этом в фазовом пространстве получалась область естествен­ного изменения координат. Однако сами координаты в процессе управления могли принимать большие значения, которые иногда были недопустимы по условиям эксплуатации объекта.

Во введении упоминалось, что ограничиваются скорости, ускоре­ния, токи в электрических машинах, температуры и т.д. Ограничения координат в системах автоматического управления возможны двух видов: безусловные и условные.

Безусловные ограничения координат появляются вследствие са­мого принципа работы объекта. Рассмотрим, например, асинхронный двигатель. Максимальная скорость вращения его при управлении напряжением не может превысить синхронную скорость при сколь угодно большом напряжении. Максимальный момент его также не может превысить определенной величины вследствие насыщения магнитной системы при больших напряжениях. Поэтому первая и вторая производные от угла поворота двигателя будут безусловно ограниченными координатами.

Условные ограничения на координаты системы вводят сознатель­но для достижения определенных целей. Так, например, для дви­гателя постоянного тока необходимо ограничивать максимальный момент, так как при больших токах якоря ухудшается коммутация, возникают большие динамические усилия. Поэтому обычно выбирают , где М_н - номинальный момент двигателя. Для двигателей переменного тока (за исключением мощных двигателей) ограничения момента по этой причине не требуется. В транспортных объектах часто требуется условное ограничение момента по причине ограничения ускорения в процессе разгона и торможения, например для уменьшения вредных воздействий на пассажиров.

2

1 3

Рис. 4.9 Изменение координат

при ограничении

В результате ограничений в фазовом пространстве получаются некоторые области. Оптимальная траектория должна лежать внутри и на границе этой области (рис. 4.9). На фазовой плоскости, образо­ванной координатами и х, выделена область линией . В процессе управления скорость объекта не должна превосходить значения . Из физических соображений следует, что сначала нужно выйти на допустимую границу по траектории 1, далее двигаться по этой границе - траектория 2 - и затем по траектории 3 попасть в заданную точку. В принципе максимума рассматривается движение координат внутри области и на границе ее, а также условие сопряжении траекторий на границе. Доказывается, что с помощью максимального управляющего воздействия нужно попасть на границу области; далее управляющее воздействие должно быть таким, чтобы координаты изменялись на границе области, а потом снова максимальным управляющим воздействием переводились с границы области в заданную точку. Благодаря такому характеру движения расширяется класс функций управления: они должны быть не только кусочно-непрерывными, но и кусочно-гладкими.

Рассмотрим управление, оптимальное по быстродействию с огра­ничением на производные. В общем случае объект описывается диф­ференциальным уравнением n-го порядка для структурной схемы, представленной на рис. , а,

(4.62)

На координату х^(k) наложено ограничение и по-прежнему ограничено управление .

Общий алгоритм построения оптимальной системы в этом случае состоит из следующих циклов: 1) управление координатой х^(k), обеспечивающее вывод ограниченной координаты на ее допустимое значение ; 2) стабилизация ограниченной координаты на значении ; 3) управление по переводу ограниченной координаты со значения на значение ; 4) стабилизация и т. д.

Рассмотрим управление координатой х^(k). Управлять координатой х^(k) - это значит управлять самой х^(k) и ее высшими производными х^(k+1), … , х^(n-1) без учета изменения остальных координат х, . Если координата х^(k) выводится на ее допустимое значение и затем удерживается на этом значении, то конечные условия будут следующими:

, х^(k+1)=…=x⁽ⁿ⁾=0.

Определим алгоритм изменения управляющего сигнала для рассматриваемого объекта, имеющего уравнение (4.62). В уравнении (4.62) произведем замену переменных

(4.63)

или

(4.64)

где

По принципу максимума можно утверждать, что для управления координатой x^(k) необходимо (n-k) интервалов управляющего сигнала U_max , так как порядок уравнения (4.64) равен n-k . Функция же представляет собой сумму координат x^(k-1), ..., х, которые скачком изменяться не могут.

Из (4.63) ясно, что х, ..., x^(k-1) плавные функции, медленно из­меняющиеся по отношению к управляющему сигналу U_max. Для получения оптимального быстродействия правая часть (4.64) должна принимать максимальное значение, когда U_max имеет релейный закон изменения.

Если объект управления имеет степень астатизма, равную k, т.е. то, заменяя переменную , получим

(4.65)

Отсюда видно, что для управления координатой необходимо интервалов .

Таким образом, все управление координатой х можно разбить на отдельные циклы, в каждом из которых осуществляется управление по выводу на значение при . Управление же в каждом цикле происходит в течение интервалов. В промежутке между этими циклами осуществляется стабилизация ограниченной координаты на значении . На интервалах времени, где ,

остальные координаты определяются простым интегрированием

(4.66)

где - начальные значения координат на участке стабилизации.

Определим число участков стабилизации и число циклов управ­ления координатой . Рассмотрим систему четвертого порядка. Графики переходного процесса и производных во времени приведены на рис. , а. В системе имеется ограничение ускорения . Из рисунка видно, что для управления координатой необходимо два участка стабилизации и три цикла управления по выводу ее допустимое значение . Для того чтобы управлять ускорением, необходимо интервала управления. Число участков стабилизации равно номеру ограниченной производной, т. е. r. Число циклов управления координатой равно (k + 1), считая конец управления. Таким образом, получаем, что всего необходимой N = (п—k)(k+1) интервалов управляющего сигнала и k участков стабилизации. Для данной системы необходимо интервалов управления, в то время как при отсутствии ограничений на ускорение N=3. Отсюда можно сделать вывод об усложнении алгоритма, а следовательно, и управляющего устройства. Алгоритм изменения показан на рис.4.10, а. Изменение и на участках стабилизации не показано, так как зависит от методов стабилизации ускорения. На рис.4.10, б приведены графики для системы третьего порядка при ограничении на все производные . Так как в системе имеется ограничение старшей производной , которая может изменяться скачком при релейном законе и, то будет достигать значения мгновенно.

Рис. 4.10. Переходные процессы при ограничении координат: а - ограничение ускорения в системе четвертого порядка: б - огра­ничение в системе третьего порядка.

График изменения u на рис. 4.10,б не показан, так как на каждом интервале управления необходимо обеспечить стабилизацию одной из координат.

Изменение имеет релейный характер, поэтому будет изме­няться по линейному закону, а по квадратичному закону на участках, где соответственно и . Выходная координата х на участке будет изменяться по кубическому закону, на участке по параболическому, на участке снова по кубическому, на -линейному. То же самое будет происходить и в области торможения . Всего для управления координатой х необходимо семь интервалов управления. Закон изменения его определяется, как указывалось, способом стабилизации .

При изменении порядка дифференциального уравнения системы число участков стабилизации и циклов управления координатой не меняется, изменяется только число интервалов управляющего сиг­нала (n-k).

Стабилизация должна осуществляться специальными мето­дами в случае условных ограничений, например применением про­граммного способа в функции времени, с помощью обратной связи по ограничиваемой координате, т. е. введением отсечек.

При наличии безусловных ограничений специальных мер по стабилизации не требуется, так как сама система не может достигнуть значений >

Проведем синтез алгоритма управления для объекта, который описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка

(4.67)

Требуется перевести координату объекта из начального по­ложения в положение при ограничении .

Количество интервалов, необходимое для вывода координаты на , n - k=2. Число участков стабилизации скорости k = 1. Общее количество интервалов управления . Вид алгоритма управления показан на рис.4.11, а. Требуется определить Обозначим Тогда уравнение (4.67) можно переписать

(4.68)

Требуется координату перевести из положения в поло­жение . По теореме об п интервалах для этого требуется два интервала и одна смена знака. Моменты переключения определяются из функции оптимального управления

(4.69)

Рис.4.11. Процессы в системе третьего порядка при ограничении

а — изменение управляющего сигнала, б — изменение координат в фазовом пространстве, в — изменение выходной координаты

При подходе к заданной точке следует затормозить объект, т.е. перевести его из положения в положение у = 0. Для этого также требуется два интервала управления. Моменты переключения находятся из функции оптимального управления

(4.70)

Значение , отработанное за время вывода на допустимое значение

(4.71)

где и решения уравнения для первых двух интер­валов. Значение , отработанное за время торможения,

(4.72)

где и решения уравнения для последних двух интервалов. Значение , пройденное с постоянной скоростью,

Время интервала стабилизации

(4.73)

На интервале стабилизации .

Таким образом, за два интервала и было достигнуто

допустимое значение скорости ; в течение времени координата изменилась с постоянной скоростью и за два интервала , произошло торможение.

На рис.4.11, б показана оптимальная фазовая траектория. Плоскость S отделяет ту область фазового пространства, в которую по условиям задачи не должны попадать координаты объекта. На рис.4.11, в показан процесс во времени.

Чтобы подчеркнуть сложность алгоритмов управления с огра­ничением координат, рассмотрим объект, который описывается диф­ференциальным уравнением

(4.74)

Очевидно, и для такого объекта следует иметь два интервала управления и один интервал стабилизации, если ограничена первая производная . На первом интервале система разгоняется до максимальным управляющим воздействием . Чтобы сделать , нужно управляющее воздействие изменять с постоянной скоростью . При подходе к заданному значению производится торможение отрицательным управляющим воздействием - . Примерный вид алгоритма управления показан на рис. 4.12. Такой алгоритм осуществить, конечно, очень сложно, особенно на участке, где и меняется с постоянной скоростью.

Рис.4.12. Изменение управляющего сигнала в системе второго порядка при ограничении

Рассмотрим вкратце управления с ограничением координат для объекта, который характеризуется структурной схемой, представленной на рис. . Так как ограничение координат достигается уменьшением общего управляющего воздействия и, то, ограничивая одну какую-либо ί-ю координату, мы тем самым ограничиваем и все ос­тальные. В силу этого дать четкие рекомендации о количестве интервалов управления, как это было сделано ранее, не представляется возможным. В каждом конкретном случае нужно подвергнуть оптимальное управление анализу.

Сделаем это на примере двух параллельно включенных звеньев. Анализ проведем на фазовой плоскости. Объект описывается системой уравнений:

(4.75)

где

Начальные условия нулевые, объект за минимальное время пе­реводится в точку и . Используя третий способ нахождения фазовых траекторий, имеем для положительного интервала и нулевых начальных условий

(4.76)

Для отрицательного интервала из условия прохождения траек­тории через точку получим

(4.77)

Фазовые траектории, соответствующие оптимальному процессу, показаны на рис. 4.13 а.

Рис. 4.13. Фазовые траектории, алгоритм управления и переходные процессы при параллельном включении звеньев и ограничении одной координаты

Ограничим координату значением . Начнем оптимальное управление максимальным сигналом . Система будет двигаться по участку 1 фазовой траектории. При достижении координаты управляющее воздействие скачком изменяется до значения . Координата сразу примет значение и движение системы далее пойдет по участку 3 фазовой траектории. В точке пересечения отрезков фазовых траекторий 3 и 2 нужно подать на объект максимальное отрицательное управляющее воздействие - . Тогда дальнейшее изменение координат до точки произойдет по отрезку 2 фазовой траектории. Оптимальная траектория с ограничением координаты выделена на рис.4.13, а жирными линиями и стрелками. Алгоритм управления и переходный процесс показаны на рис.4.13, б. Моменты переключения и изменения управляющего воздействия с на находятся способами, рассмотренными выше. Если ограничения наложены на две координаты, т.е. имеются , алгоритм усложняется. На рис.4.14 показана фазовая траектория и управляющее воздействие для случая ограничения двух координат. Как видно из рисунка, алгоритм управления значительно усложнился и требует реализации четырех моментов переключения.

Рис. 4.14. Алгоритм управления

и фазовые траектории при

параллельном соединении звеньев

и ограничении двух координат