Вопрос 18.
Классификация линии 2-го порядка. Уравнение линии 2-го порядка в полярной системе координат.
Классификация линии 2-го порядка.
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
A
+2Bxy+
+2Dx+2Ey+F=0
Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А,В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми)второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
Уравнение линии 2-го порядка в полярной системе координат.
Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.
Пусть дана произвольная из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L (если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви).
Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.
Возьмем
на кривой произвольную точку М(
;
),
соединим ее отрезком FM с фокусом и
опустим перпендикуляр МК на директрису.
Кроме того, из точки F проведем
перпендикуляр FR к полярной оси до
пересечения с кривой в точке R, а из
точки R опустим перпендикуляр RQ на
директрису
(Рис. 12).
Обозначим FR=p и будем называть это число фокальным параметром.
На основании общего свойства кривых второго порядка
По тем же соображениям:
или
,
оттуда
Подставим
найденные выражения для FM и КМ в равенство
,
получим:
Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в полярных координатах. При >1 кривая является эллипсом, при ξ>1 - ветвью гиперболы, при =1 - параболой.
Фокальный параметр Р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того, чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса и гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр Р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выведении канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОY).
Подставляя
вместо координат точки М(х;у) в уравнение
эллипса
координаты точки (-с;р), получим:
или
откуда следует
Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с;р), получим:
или
откуда следует соотношение