Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Билеты математика 2.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
148.06 Кб
Скачать

Вопрос 18.

Парабола. Определение, основные свойства, уравнение и построение.

Парабола – геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от данной точки называемой фокусом параболы и данной прямой называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается ρ(ρ>0)/

Выберем систему координат хОу, так чтобы оси Ох проходила через фокус перпендикулярен директрисе направлении от директрисы до фокуса. Начало координат О расположен между фокусом.

Тогда фокус будет иметь координаты , а директриса задаваться уравнением х

Пусть M(x;y) произвольная точка параболы, а MN⍊к директрисе, = ; N= ; = =

По определению

= => - /2

=

=

=2 - каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы:

1)Ох – ось симметрии

2)р>0=>х≥0=> парабола расположена справа от оси Оу

3)При х=0;у=0=> парабола проходит через начало координат.

4)точка О(0;0) – вершина параболы FM=r-фокальный радиус точки М.

Вопрос 17.

Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду.

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого будет равен

Приравнивая коэффициент к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид:

Если в уравнении (50) то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа; если же то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов или равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа.

Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду:

т.е. фактически к каноническому виду.

Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если и одного знака, а противоположного),

либо мнимое место точек (если , , имеют один знак),

либо одну точку (если и имеют один знак, а = 0),

либо гиперболу (если и разных знаков и ≠ 0),

либо две пересекающие прямые (если и разных знаков и = 0).

Если же в уравнении (50) один из коэффициентов и , например, обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при ≠ 0 или к виду при = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".