Вопрос 6-7

Смешенное произведение, определение, свойства. Геометрический смысл смешенного произведения векторов.

Рассмотрим произведение векторов , и составленное следующим образом: ( )* . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется смешанным произведение трёх векторов. Результат число.

Свойства смешанного произведения.

1.Смешенное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.

= ⨯ )* =( ⨯ )*

2.Смешенное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения.

( ⨯ )* = *( ⨯ )

3.Смешенное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов – сомножителей.

= , =- , =

4.Смешенное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Геометрический смысл смешенного произведения векторов.

Нахождение объема параллелепипеда.

Вопрос 9

Уравнение прямой через две точки.

Пусть l проходит через точки ( ; ), ( ; )

Пусть прямая l задана уравнением - = k(x- прямая l проходит и через точку , то можно написать - = k(x-

Выразим коэффициент k:

k= и k= так как уголовный коэффициент один и тот же то мы можем приравнять равные части

=

=

Вопрос 10.

Уравнение прямой с нормальным вектором N.

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку ( перпендикулярно данному ненулевому вектору =(А;В).

Возьмем на прямой произвольную точку M(х;у) и рассмотрим вектор =(х- ;у- )(рис). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: * =0, то есть

А(х- )+В(у- =0

Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор - называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение можно переписать в виде

Ах+Ву+С=0

Вопрос 11.

Нормальное уравнение прямой.

Пусть прямая определяется заданием ρ и a(рис)

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

r* -ρ=0 т.е r* + r* -ρ=0. Но в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r* = , r* = . Следовательно, уравнение r*cos( =ρ прямой в прямоугольной системе координат примет вид: x*cos +y*sin -ρ=0

Уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Вопрос 12.

Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость, из начала координат, и длиной ρ этого перпендикуляра(рис)

Пусть ОК=ρ, а a,β,γ – углы, образованные единичным вектором с осями Ох, Оу, Оz. Тогда = ( . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и соединим её с началом координат. Образуем вектор = (x,y,z).

При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно ρ: =ρ, т.е. или * -ρ=0

Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов и , можно выписать уравнение:

xcosa+ycosβ+zcosγ-ρ=0

Уравнение называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.