Вопрос 1.

Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов, определение, свойства.

Отрезок прямой линии называется вектор, если указан, какой из его концов считать началом, а какой концом. Направление вектора считается направление от начала к концу.

Вектор начало и конец, которого находится в одной точки, называется нулевым.

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарин всем векторам.

Векторы называются комплонарными если они лежат на одной или параллельных плоскостях или если существует плоскость, которой они параллельны.

Два вектора называются, одинаково направлены (сонаправленые) если они коллинеарные и при сведении их начальных точек в одну точку, концы будут направлены в одну сторону.

Действия над векторами.

Линейные операции над векторами, к таким операциям относятся сложение векторов и умножение на число.

Пусть и два произвольных вектора. Возьмем на плоскости произвольную точку О и построим вектор с началом в точке О и равен вектору . Из точки А построим вектор равный вектору , тогда вектор = + = + . Это правило сложения называется правилом треугольника. Можно складывать по правилу параллелограмма.

Три вектора складываются из произвольной точки О. откладываем вектор = первому слагаемому, из конца построенного вектора откладываем вектор = второму слагаемому, из конца этого вектора откладываем вектор = третьему слагаемому. Затем соединяем слагаемое первого вектора с концом последнего вектора, у получившегося отрезка началом будет считаться - точка О.

Для векторов и под разностью будем понимать такой вектор , = , что +

Начинаем строить , как одного из слагаемых затем строим , таким образом, чтоб его конец совпал с концом вектора и тогда это вектор с началом в начале и концом в начале .

-

Произведение на число λ называется, длина которого = * , а направление совпадает с направлением , если λ>0 и противоположно если λ<0.

(2)Скалярное произведение векторов, определение, свойства.

Скалярным произведением двух не нулевых векторов и называется число равное произведению длин векторов на угла между ними.

Свойства скалярного произведения.

1.Коммуникативна

2.Можно вынести число λ*(

3. =

4. = - скалярный квадрат

5. 0, 0 и , то

6. <=>

Вопрос 4

Векторное произведение векторов, определение, свойства. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Три некомпланарных вектора , взяты в указанном порядке образуют правую тройку, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Векторным произведением и называется , который:

1)перпендикулярен ⍊ ; ⍊

2)имеет длину равную площади параллелограмма построенного на векторах и

3)векторы образуют правую тройку.

=

Свойства векторного произведения.

1.При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак = - ⨯

2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя λ( =(λ )⨯ = ⨯(λ )

3. и коллиниарны тогда и только тогда, когда векторное произведение равно нулевому вектору.

║ <=> =Ō

4.Векторное произведение обладает распределительным свойством:

( =

Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

= *