24.Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины ( X,Y) называется функция F(X,Y)= P ( X<x,Y<y)

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения F(X,Y) = , где суммирование вероятностей распространяется на все i,для которых xi<x и все j, для которых yj<y

25.Числовые характеристики системы двух случайных величин

Условным математич. ожиданием дискретной случайной величины У при Х=х называают сумму произведений возможных значений Yна их условные вероятности:

М(У/X=x)= * p ( yj/x)

Для непрерывной величины:

М(У/X=x) = *ψ(Y/X)dy

26.Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции

Теорема.

Для того , чтобы случ. Величины Х и У были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (Х,У) была = произведению фун-ций распределения составляющих : F(x,y)=F1(x)F2(y)

Ковариацией ( или корреляционным моментом) наз-ся мат. Ожидание произведения отклонения этих величин от своих мат. Ожиданий:

Мху=М[(X-M(X))*(Y-M(Y))]

Mxy=M(XY)-M(X)*M(Y)

Для вычисления корреляционного момента(ковариации) дискретных случ. Величин используют формулу:

Mxy= [x1-M(X)][y1-M(Y)]p(x1,y1)

Для непрерывных

Mxy= = f(x,y)dxdy

Корреляционный момент служит для хар-ки связи и между величинами Х и У.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случ. Величин Х и У=0.

Коэффициентом корреляции двух случ. Величин наз-ся отношение их ковариации к произведению средних квадратичных отклонений эти величин: rxy=Mxy/σxσy

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случ. Величин Х и У не превышает среднего геометрического их дисперсий.

27.Уравнение линейной регрессии у на х и х на у. Коэффициент регрессии

Линейной средней квадратичной регрессией У и Х называется функция вида: = + (x- ) , где

=M(X) , =M(Y)

= , =

Коэффициент β= называют коэффициентом регрессии Y наX называется функция вида: = + (y- )

– коэффициент регрессии Х на У

(1- ) – остаточная дисперсия. Характеризует величину ошибки, которую допускают при замене Х линейной функции от У

28. Цепи Маркова.Матрица переходных вероятностей

Случайная последовательность событий с фиксированным шагом называется дискретной марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния S_iв любое другое состояние S_j не зависит от того, когда и как система перешла в состояние S_i.

В тех случаях, когда переход системы из одного дискретного состояния в другое происходит не в строго фиксированные, а в случайные моменты времени, применяется схема марковского процесса с лискретными состояниями и непрервным временем. Такая схема или такой процесс называется непрерывной цепью Маркова.

Вероятности pij=P(ψ(n+1)=j/ψ(n)=i) называются переходными вероятностями, а составленная из них матрица Р-матрица переходных вероятностей.

P=

29.Неравенство Чебышева.Закон больших чисел и его следствие.

В ероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε будет не меньше, чем

т .е.

для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Теорема Чебышева

Если х1,х2 … хn – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничено( не превышает постоянного числа С) то, как бы мало ни было положит. число ε. Вероятность неравенства

Будет как угодно близка к 1, если число случайной величины достаточно велико

Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией

Если х1,… хn,…- последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием а и дисперсией σ^2, то для любого ε>0