1. Элементы комбинаторного анализа

Соединения. ПустъА – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2,a₃…a_n. Из различных элементов множестваА можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пom в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Перестановки. ПустъА – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2,a₃…a_n. Из различных элементов множестваА можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пom в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Р азмещения. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m<n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно

=n(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

T еорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

И ногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

С очетания. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m<n) взятых из n элементов множестваА, отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

Т еорема 3. Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

И ногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

2. Сущность и условия применения теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства и др.

3. Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Вероятностьюсобытия A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

4. Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

5. Непосредственный подсчет вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Д оказательство. Так как , то поделив все части неравенства на N, получим

О ткуда по классическому определению вероятности следует, что

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю

6. Теоремы сложения вероятностей.

Е сли А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Е сли и противоположные события, то

Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

7. Теоремы умножения вероятностей.

Если А и В независимые события, то

Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Если А и В совместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

8. Теорема о вероятности хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из , …. независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: , …

P(A)=1- …. ,где =P( )

=1- , i=1,2,….n

9. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий. Тогда

Формула (1) называется формулой полной вероятности.

10. Теорема Байеса.

Предположим, что в результате испытания событиеА произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Н_k , т.е. P(H_k/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Ответ дает формула Байеса:

11. Повторные испытания. Схема Бернулли.

Если проводится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Будем рассматривать лишь такие независимые события, в которых событиеАимеет одну и ту же вероятность.

Пусть проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1.

Особо отметим, что величина р не зависит от результатов предыдущих или последующих испытаний. Такой тип испытаний получил название схемы Бернулли.

12.Формула бернулли.

При n испытаниях событие А произойдет ровно k-раз . Обозначается Pn(k). Ответ на этот вопрос дает формула Бернулли: Pn(k)=

13. Локальная теорема Лапласа

Если вер-тьp появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вер-тьтого,что события А появится в n-испытаниях ровно k-раз приближенно =: Pn(k)=1/ * ᵠ(x), ᵠ(х)=1/ * при x=|k-np/ |

14.Интегральная теорема Лапласа

Если вер-ть р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вер-ть того, что событие А появится в n-испытаниях от к1 до к2- раз приближения = определенному интегралу:P(k1,k2)= 1/ dz ; x1=k1-np/ ; x2=k2-np/

Pn(k1,k2)=ф(х2)-ф(х1); ф(х)= 1/ dz

15.Случайные величины, способы их описания

Случайной величинойназывается переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z , а их значения - соответствующими строчными буквами х, у, z.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.