23. Примеры выбор-ых хар-к – вариационный ряд, порядковые статистики, размах выборки, выборочная медиана.

1) Вариац ряд – совокуп-ть вел-н, расположенных в порядке их возрастания. Вариац ряд полностью опред-ся указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда.

2) Порядк-е статистики – пусть дано множ-во из n чисел и нужно найти тот его эл-т, который будет i-м по счету, если расположить эл-ты мн-ва в порядке возрастания, то такой эл-т наз-ся i-ой порядковой статистикой. Минимум – это нулевая порядк-я стат-ка, а максимум – это (n-1)-ая порядк-я стат-ка. Медиана – порядк-я стат-ка номер n/2.

3) Размах выборки –

,

4) Выбор-я медиана – срединное зн-е упорядоченной выборки случ вел-н. Явл-ся устойчивой оценкой центра распределения.

24. Методы получения оценок для пар-ров генер-й совок-ти.

Точечная оценка пар-ра распред-я ген совок-ти – статистика, реализации которой исп-ся в кач-ве приближенных знач-й этого пар-ра.

Методы получения точечных оценок (оценок на основе выборки):

1) Метод максимального правдоподобия – метод оценивания неизвестного пар-ра путем максимизации функции правдоподобия. Основан на предположении о том, что вся инф-ция о статист-ой выборке содержится в ф-ции правдоподобия. Ф-ция правдоподобия – это совместное распред-е выборки из параметрического распред-я, рассматриваемое как ф-ция параметра. При этом исп-ся ф-ция плотности (в случае выборки из непрерывного распред-я) либо совместная вероят-ть (в случае выборки из дискретного распред-я), вычисленные для данных выборочных значений.

2) Метод моментов – способ построения оценок, основанный на уравнивании теоретич-х и выборочных моментов.

Он состоит в том, что на основании выборки х1, х2, ..., хn вычисляются выборочные моменты (начальные или центральные). Полученные значения приравниваются соответствующим теоретическим моментам. Кол-во моментов должно ровняться числу оцениваемых параметров. Затем решают полученную сис-му ур-ий относ-но этих пар-ров. Рассмотрим случай, когда метод моментов исп-ся для нахожд-я оценки одного пар-ра. Положим, что плотность распр-я f(x;a) случайной вел-ны Х зависит только от одного пар-ра а, и необходимо найти оценку пар-ра а. Для нахождения оценки одного пар-ра достаточно иметь одно ур-е относительно этого пар-ра, используя, например, на основании выборки х1, х2, ... , ,хn первый начальный момент:

Приравняем его значение первому теоретическому моменту:

рассматривая правую часть равенства как ф-цию от а. Решая это ур-е относ-но неизвестного пар-ра а, получаем точечную оценку , которая теперь явл-ся ф-цией от вариант выборки, то есть:

3) Метод наименьших квадратов – прим-ся для приближенного представления заданной ф-ции другими (более простыми) ф-циями.

25. Св-ва оценок пар-ров ген-ой сов-ти – достаточность стат-ки, линейность статистики.

1) Достаточность – вся инф-ция о выборке должна содержаться в статистике, она подсчитывается на основе всех выборочных зн-ий)

2) Линейность – ф-ла для оценки в виде линейной комбинации выборочных зн-ий:

26. Св-ва оценок пар-ров ген-ой совокупности – несмещенность.

Несмещенность проявляется в том, что мат ожидание оценки совпадает с оцениваемой величиной, т.е.

Пр1: , следовательно, оценка явл-ся несмещенной оценкой

Пр2: - выборка с возвращением, она несмещенная

Пр3: - смещенная статистика, т.е.

Если взять норм-ю генер-ю совокуп-ть, то ф-лу для оценки можно поправить:

Если взять выб-ку из конечной генер-й сов-ти без возвр-я:

N – объем партии;