24 Билет.
1. Интерполяция является частным случаем аппроксимации. Это - задача о нахождении такой аналитической функции L(x), которая принимает в точках (узлах) хi заданные значения уi. Иными словами, аппроксимирующая функция в случае интерполяции обязательно проходит через заданные точки.
Интерполяционная функция L(x) приближенно заменяет исходную f(x), заданную таблично, и проходит через все заданные точки – узлы интерполяции.
В связи с интерполяцией рассматриваются три основные проблемы:
1.Выбор интерполяционной функции L(x) .
2.Оценка погрешности интерполяции R(x)/
3.Размещение узлов интерполяции для обеспечения наивысшей возможной точности восстановления функции
Чаще всего в качестве интерполяционной функции используется полином n-степени (полиноминальная функция)
Это объясняется тем, что полином n-степени, содержащий n+1 параметр и проходящий через все заданные точки – единственный.
Л
инейная
интерполяция. Пусть табличная
функция содержит всего две точки {x1,y1}
и {x2,y2}.
Изобразим их на плоскости. Функцию
ϕ(x) будем искать в виде полинома
1-й степени ϕ(x) = a0
+ a1x. Неизвестные
коэффициенты a0 и a1
можно найти из условия прохождения
прямой через заданные две точки:
Найденные неизвестные коэффициенты
подставляют в выражение для функции
ϕ(x). Полученное уравнение
прямой позволяет определить значение
функции в любой промежуточной точке.
Квадратичная интерполяция
Пусть табличная функция содержит три точки {x1,y1}, {x2,y2} и {x3,y3}. Изобразим их на плоскости.Неизвестные коэффициенты а0, а1, а3 в уравнении параболы y=a0+a1*x+a2*x2, проходящей через точки с координатами (x1,y1), (x2,y2) и (x3,y3) может быть найдено из системы уравнений:
2.
первое
второе
0,2А16 первое число 2-ая тетрада, второе 1-ая тетрада. 216=00102; А16=10102 , убираем не значащие 0, получаем Ответ: 0,00101012
25 Билет.
1. Реализация численных методов состоит из двух этапов: 1) отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; 2) уточнение приближенного значения корня.
1 . Неустранимая погрешность. Она связана с тем, что параметрами математической модели служат обычно приближенные величины из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений. Для вычислителя погрешность математической модели следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.
2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей.
3. Вычислительная погрешность (погрешность действий). Этот тип погрешности обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники , вычислительная погрешность обусловлена округлениями.
Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. (Полная версия в 19 билете!)
Дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений необходимо взять. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. Реальный ПК может оперировать лишь с конечным числом уравнений, на практике сходимость, как правило, не достигается. Поэтому важно уметь оценивать погрешность метода в зависимости от числа уравнений, составляющих дискретную модель. По этой причине дискретную модель строят таким образом, чтобы она правильно отражала качественное поведение решения исходной задачи даже при сравнительно небольшом числе уравнений. Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Например, исходная математическая задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранилось. В понятие корыстности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивости по входным данным. Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость решения от входных данных, равномерная относительно числа уравнений, составляющих дискретную модель.
2. 1316=1*16^1+3*16^0=19
100112=1*2^4+1*2^1+1*2^0=19