
- •Жолудева в.В. Математическая статистика
- •Оглавление
- •Глава 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление
- •Введение
- •Глава 1. Выборочный метод
- •Примеры решения задач
- •2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
- •Глава 2. Числовые выборочные характеристики
- •2.1. Средние величины
- •2.2. Показатели вариации
- •2.3. Начальные и центральные моменты вариационного ряда
- •Примеры решения задач.
- •Решите самостоятельно следующие задачи.
- •Глава 3. Статистические оценки параметров распределения
- •3.1. Понятие оценки параметров
- •3.2. Точечные статистические оценки параметров распределения
- •Примеры решения задач
- •3.3. Интервальные оценки
- •Примеры решения задач
- •Решите самостоятельно следующие задачи
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
- •4.2. Проверка статистической гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности на уровне значимости α
- •4.3. Сравнение двух генеральных средних
- •4.4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •4.5. Критерии согласия
- •Критерий Колмогорова
- •4.6. Проверка гипотезы об однородности выборок
- •Критерий Колмогорова-Смирнова
- •Критерий Вилкоксона
- •Решите самостоятельно следующие задачи
- •Глава 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление связи между величинами
- •Решите самостоятельно следующие задачи
Примеры решения задач
Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка
-
xi
2
5
7
10
mi
16
12
8
14
Найти несмещенные оценки генеральной средней и дисперсии.
Решение. 1) n=16+12+8+14=50.
Несмещенной оценкой
генеральной средней является выборочная
средняя
=
2) Несмещенной
оценкой генеральной дисперсии является
исправленная дисперсия
.
Пример 2. Случайная величина Х (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Распределение задано таблицей
-
xi
1
1
2
3
4
mi
132
43
20
3
2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.
Решение. Согласно методу моментов для распределения с одним параметром, его оценка определяется из решения уравнения
М(х)= .
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона равно М(х)=λ. Следовательно, получаем λ*= .
Итак, для оценки параметра λ необходимо найти выборочное среднее арифметическое значение:
n=132+43+20+3+2=200;
=
Пример 3. Найти методом моментов по выборке х1, х2, …, хn точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.
Решение. Так как равномерное распределение определяется двумя параметрами, метод моментов сводится к решению системы уравнений
.
Поскольку, при
равномерном распределении М(х)=
для определения оценок параметров a
и b
необходимо
решить систему уравнений
;
Итак,
Пример 4. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биноминального распределения.
Решение.
Запишем функцию правдоподобия для
дискретной биноминально распределенной
случайной величины. Так как при
биноминальном распределении
,
где n
– число опытов, m
– количество испытаний в одном опыте,
следовательно, функция правдоподобия
имеет вид
·
·…·
=
Для простоты вычиcлений возьмем от функции L натуральный логарифм:
lnL=ln(
)=ln(П
)
+
Для нахождения экстремума функции ln(L) продифференцируем ее по переменной р:
Далее, для вычисления
критических точек решим уравнение
(3.1)
Чтобы определить,
будет ли полученное значение р являться
точкой максимума, найдем вторую
производную функции ln(L),
и ее значение в точке
.
Если это значение меньше нуля то ,
полученная критическая точка, является
точкой максимума.
Так как, 0≤р≤1, то
согласно условию (3.1), получаем
и из определения биноминального
распределения
поэтому
для
любого р,
в том числе и для
Итак, значение
является
максимальным для функции правдоподобия,
а, следовательно, и оценкой неизвестного
параметра р
биноминально распределенной случайной
величины.
Пример 5. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки параметров а и σ нормального распределения.
Решение. Для определения оценок параметров а и σ решим систему дифференциальных уравнений:
Так как функция
плотности распределения нормальной
случайной величины имеет вид
,
следовательно, функция правдоподобия
…
=
Тогда,
;
;
-
оценки параметров нормального
распределения.