Примеры решения задач.
Пример 1. По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 найти числовые характеристики выборки.
Решение. 1) Среднее арифметическое значение
= 1/7(4+6+7+7+10+15+18)=67/7=9,57.
2) Выборочная дисперсия
S2= -( )2=1/7(42+62+72+72+102+152+182)– (9,57)2=
=1/7(16+36+49+49+100+225+324) – 91,5849=799/7 – 91,5849=22,56.
3) Выборочное среднее квадратическое отклонение
S=
.
4) Мода Мо=7 (т.к. значение х=7 встречается в выборке чаще остальных значений, а именно 2 раза).
5) Медиана Ме=
.
6) Коэффициент
вариации V=
.
Пример 2. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
xi |
2 |
6 |
12 |
mi |
3 |
10 |
7 |
Решение. 1) n=3+10+7=20.
Среднее арифметическое =1/20(2·3+6·10+12·7)=150/20=7,5.
2) Выборочная дисперсия S2= -( )2=1/20(22·3+62·10+122·7) – (7,5)2=1/20(12+360+1008) – 56,25= 69 – 56,25 = 12,75.
3) Среднее
квадратическое отклонение S=
=3,57
.
4) Мода Мо=6.
5) Медиана
Ме=
=
=
.
6) Коэффициент
вариации V=
.
Пример 3. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
варианты, xi |
1 |
4 |
6 |
10 |
относительная частота, |
0,15 |
0,28 |
0,25 |
0,32 |
Решение. 1) Среднее арифметическое
= ; =1·0,15+4·0,28+6·0,25+10·0,32=0,15+1,12+1,5+3,2=5,97.
2) Дисперсия
S2=
-(
)2=
=(12·0,15+42·0,28+62·0,25+102·0,32)
– (5,97)2=45,63
– 35,6409=9,9891.
3) Среднее
квадратическое отклонение S=
=3,16.
4) Мода Мо=10.
5) Медиана Ме=
=
=
=6.
6) Коэффициент
вариации V=
.
Пример 4. При обследовании надоя коров случайным образом отобрали 307 коров, данные по ним сгруппировали и составили таблицу
надои |
3000-3400 |
3400-3800 |
3800-4200 |
4200-4600 |
4600-5000 |
число коров |
43 |
71 |
102 |
64 |
27 |
Найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
Решение. Составим таблицу числа наблюдения значений, приняв в качестве xi середины интервалов
надои |
3200 |
3600 |
4000 |
4400 |
4800 |
число коров |
43 |
71 |
102 |
64 |
27 |
n=43+71+102+64+27=307.
1) xi =1/307(3200·43+3600·71+4000·102+4400·64+4800·27)=1212400/307=3949,2.
2)S2=1/307(32002·43+36002·71+40002·102+44002·64+48002·27) – (3949,2)2 = =213591,3469.
3) S=
=
462,2.
4) Мо=4000 (интервал 3800-4200).
5) Ме=
Пример 5. При взвешивании груза получены следующие данные 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Определить среднее значение веса груза, среднюю ошибку взвешивания.
Решение. Составим статистическое распределение веса груза
вес, xi |
120 |
122 |
125 |
127 |
129 |
130 |
135 |
частота, mi |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
Так как первоначальные варианты х – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам ui=xi–c. Возьмем с=125, тогда ui=xi–125. В итоге получим распределение условных вариантов
вес, xi |
-5 |
-3 |
0 |
2 |
4 |
5 |
10 |
частота, mi |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1) Найдем выборочную
среднюю по формуле
=
+125;
=1/9(-5-3+0+2+4+10+10) + 125=18/9 + 125=2 + 125=127.
2) Вычислим выборочную
дисперсию. На основании свойства 3
дисперсии получаем
;
=1/9((-5)2·1+(-3)2·1+02·2+22·1+42·1+52·2+102·1)
– 22=22,(6)
– 4=18,(6).
3) Выборочное
среднее квадратическое отклонение
S=
=4,32.
Итак, средний вес груза равен 127 кг, средняя ошибка взвешивания – 4,32 кг.
Пример 6. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
хi |
0,01 |
0,03 |
0,04 |
0,07 |
mi |
16 |
22 |
47 |
15 |
Решение. 1) Перейдем к условным вариантам ui=c·xi, где с=100, т.е. ui=100xi.
Таблица примет вид
хi |
1 |
3 |
4 |
7 |
mi |
16 |
22 |
47 |
15 |
Согласно свойству 2 средней арифметической, получим
=
;
=
2) По свойству 2 дисперсии получим
=
=
3) Среднее
квадратическое отклонение S=
≈0,017
4) Мо=0,04
5) Ме=
Пример 7. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения рабочих цеха по тарифному разряду.
тарифный разряд, xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
количество рабочих, mi |
2 |
3 |
6 |
8 |
22 |
9 |
Решение.
n=
=2+3+6+8+22+9=50;
=
(1·2+2·3+3·6+4·8+5·22+6·9)=
(2+6+18+32+110+54)=
·222=4,44.
(1·2+4·3+9·6+16·8+25·22+36·9)-(4,44)2=
(2+12+54+128+550+324)-(4,44)2=21,4
– 19,7136=1,6864.
S=
≈1,3.
Тогда, А=
=
=
=
=-0,961.
Е=
=
=
=3,277
-3=0,277.