Примеры решения задач
Пример 1. В случайном порядке было отобрано 25 студентов экономического факультета и выписан их возраст:
19 17 22 18 17
17 23 21 18 19
17 22 18 18 18
20 17 19 21 17
21 17 18 23 18
Составить статистическое распределение студентов по возрасту. Построить полигон и кумуляту. Найти эмпирическую функцию распределения и дать ее графическое изображение.
Решение. 1. По исходным данным составим статистическое распределение выборки.
Таблица 1.1.
-
xi
17
18
19
20
21
22
23
mi
7
7
3
1
3
2
2
2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
= .
В данном случае
объем выборки n=25.
Относительные частоты:
=7/25=0,28;
=
0,28;
=
3/25=0,12;
=
1/25=0,04;
=
3/25=0,12;
=
=2/25=0,08.
=0,28
+ 0,28 + 0,12 + 0,04 + 0,12 + 0,08 + 0,08 = 1.
3. Вычислим накопленные частоты и результаты внесем в четвертый столбец таблицы 1.2.
mx1= m1=7; mx2= m1 + m2=7 + 7=14; mx3= m1 + m2 + m3 =7 + 7 +3=17; mx4= m1 + m2 + m3 + m4=7 + 7 + 3 + 1=18; mx5=7 + 7 + 3 + 1 + 3 = 21; mx6=21 + 2 = 23; mx7= 25.
Вычисленные относительные накопленные частоты указаны в пятом столбце таблицы 1.2.
Таблица 1.2.
варианты xi |
частоты mi |
относительные частоты, |
накопленные частоты, mxi |
относительные накопленные частоты |
17 |
7 |
0,28 |
7 |
0,28 |
18 |
7 |
0,28 |
14 |
0,56 |
19 |
3 |
0,12 |
17 |
0,68 |
20 |
1 |
0,04 |
18 |
0,72 |
21 |
3 |
0,12 |
21 |
0,84 |
22 |
2 |
0,08 |
23 |
0,92 |
23 |
2 |
0,08 |
25 |
1 |
4. Для построения полигона распределения отложим на оси абсцисс варианты xi , на оси ординат – частоты mi.
Рис. 1.1.
Для построения кумуляты отложим на оси абсцисс варианты xi, на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.2.
5. Найдем эмпирическую функцию F*(x) по данному распределению выборки.
Объем выборки n=25.
Наименьшая варианта х1=17, следовательно F*(x)=0, при х≤17. Значение х<18, а именно х1=17 наблюдалось 7 раз, следовательно F*(x)=7/25=0,28, при 17<х≤18. Значения х<19, а именно х1=17, х1=18 наблюдались 7+7=14 раз, следовательно F*(x)=14/25=0,56, при 18<х≤19. Аналогично, F*(x)=17/25=0,68 при 19<х≤20; F*(x)=18/25=0,72, при 20<х≤21; F*(x)=21/25=0,84, при 21<х≤22; F*(x)=23/25=0,92, при 22<х≤23. Так как х7=23 – наибольшая варианта, следовательно F*(x)=1, при х >23.
Эмпирическая функция имеет вид
F*(x)=
Построим график этой функции
Рис. 1.3.
Пример 2. Наблюдения за жирностью молока у 50 коров дали следующие результаты (в %).
3,86 3,84 3,69 4,00 3,81 3,73 4,14 3,76
4,06 3,94 3,76 3,46 4,02 3,52 3,72
3,67 3,98 3,71 4,08 4,17 3,89 4,33
3,97 3,57 3,94 3,88 3,72 3,92 3,82
3,61 3,87 3,82 4,01 4,09 4,18 4,03
3,96 4,07 4,16 3,93 3,78 4,26 3,26
4,04 3,99 3,76 3,71 4,02 4,03 3,91
По этим данным построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами и изобразить его графически (построить полигон, гистограмму, кумуляту).
Решение. 1. Выполним разбиение данного ряда на интервалы,
n=50, xmax=4,33; xmin=3,46.
Число интервалов к=1 + 3,322lg50=1 + 3,322·1,7=6,6474≈7;
длина каждого
интервала h=
за начало первого интервала примем величину хнач=хmin – 0,5h=3,46 – 0,5·0,14=3,46 – 0,07≈3,4.
Таблица 1.3.
жирность молока, интервал |
середина интервала, хi |
частота,
mi |
относительная частота,
|
накопленная частота, mxi |
относительная накопленная частота
|
3,40- 3,54 |
3,47 |
2 |
2/50=0,04 |
2 |
0,04 |
3,54-3,68 |
3,61 |
4 |
4/50=0,08 |
6 (2+4) |
0,12 |
3,68-3,82 |
3,75 |
13 |
13/50=0,26 |
19 (6+13) |
0,38 |
3,82-3,96 |
3,89 |
11 |
11/50=0,22 |
30 (19+11) |
0,60 |
3,96-4,10 |
4,03 |
14 |
14/50=0,28 |
44 (30+14) |
0,88 |
4,10-4,24 |
4,17 |
4 |
4/50=0,08 |
48 (44+4) |
0,96 |
4,24-4,38 |
4,31 |
2 |
2/50=0,04 |
50 (48+2) |
1 |
2. Для построения гистограммы откладываем на оси абсцисс интервалы длинной h=0,14. На этих интервалах построим прямоугольники высотой, пропорциональной частоте. Для построения полигона середины верхних оснований соединим ломаной линией.
Рис. 1.4.
Для построения кумуляты на оси абсцисс отложим середины интервалов, а на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.5.