4.3. Сравнение двух генеральных средних

Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально и их дисперсии известны и равны S_x и S_y. По независимым выборкам объемов n и m найдены выборочные средние и Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(У) о равенстве математических ожиданий рассматриваемых генеральных совокупностей.

Обычно выборочные средние бывают различны. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются выборочные средние. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, то выборочные средние различаются незначимо. Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то различие выборочных средних значимо и не может объясняться случайными причинами, а объясняется тем, что сами математические ожидания различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы берут случайную величину

Тогда

1. Если , где определяется по таблице Стьюдента, то принимаем гипотезу о том, что М(Х)=М(У) по сравнению с альтернативной гипотезой М(Х)≠М(У). И отвергаем эту гипотезу, если неравенство не выполнено.

2. Если оказалось, , можно проверять гипотезу о том, что М(Х)=М(У), когда альтернативной гипотезой является М(Х)<М(У). Если выполняется неравенство , то основная гипотеза (М(Х)=М(У)) неверна и принимается гипотеза, что М(Х)<М(У).

3. Можно проверять гипотезу о том, что М(Х)=М(У), когда альтернативной является гипотеза М(Х)>М(У). Если выполняется неравенство , то принимается гипотеза М(Х)>М(У).

Пример. По двум выборкам объемов n=30 и m=20, извлеченным из генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =97 и =94. Генеральные дисперсии известны =120 и =100. При уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(У) при конкурирующей гипотезе Н₁: М(Х)≠М(У).

Решение. =

(приложение 2).

Так как , следовательно нет оснований отвергать нулевую гипотезу Н₀: М(Х)=М(У), то есть выборочные средние различаются незначимо.

4.4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей

Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. Н₀: .

Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов Для оценки дисперсий используются исправленные выборочные дисперсии .

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия – отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Далее необходимо найти критическую точку F_кр(α; к₁; к₂), где α – уровень значимости, к₁=n₁ – 1, k₂=n₂ – 1(к₁ и к₂ – числа степеней свободы).

Если F_набл < F_кр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе ищут критическую точку F_кр(α/2; к₁; к₂).

Если F_набл < F_кр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

F_кр ищут по таблицам распределения Фишера-Снедекора (приложение 4).

Пример. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

х: 9,6; 10; 9,8; 10,2; 10,6

у: 10,4; 9,7; 10; 10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений при уровне значимости α=0,1.

Решение. Будем судить о точности методов по величинам дисперсий.

F_кр=F(0,05; 4; 3)=9,12 (приложение 4);

F_набл < F_кр , следовательно нет оснований отвергать нулевую гипотезу.