
- •Жолудева в.В. Математическая статистика
- •Оглавление
- •Глава 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление
- •Введение
- •Глава 1. Выборочный метод
- •Примеры решения задач
- •2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
- •Глава 2. Числовые выборочные характеристики
- •2.1. Средние величины
- •2.2. Показатели вариации
- •2.3. Начальные и центральные моменты вариационного ряда
- •Примеры решения задач.
- •Решите самостоятельно следующие задачи.
- •Глава 3. Статистические оценки параметров распределения
- •3.1. Понятие оценки параметров
- •3.2. Точечные статистические оценки параметров распределения
- •Примеры решения задач
- •3.3. Интервальные оценки
- •Примеры решения задач
- •Решите самостоятельно следующие задачи
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
- •4.2. Проверка статистической гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности на уровне значимости α
- •4.3. Сравнение двух генеральных средних
- •4.4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •4.5. Критерии согласия
- •Критерий Колмогорова
- •4.6. Проверка гипотезы об однородности выборок
- •Критерий Колмогорова-Смирнова
- •Критерий Вилкоксона
- •Решите самостоятельно следующие задачи
- •Глава 5. Корреляционный и регрессионный анализ. Выявление связи между величинами
- •Решите самостоятельно следующие задачи
Глава 4. Проверка статистических гипотез
4.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
Статистической гипотезой называют предположение относительно параметра известного распределения или о виде неизвестного распределения. При этом, проверяемую гипотезу (выдвинутую) называют нулевой (основной) и обозначают Н0. Наряду с нулевой гипотезой Н0 рассматривают ей противоречащую гипотезу, называемую альтернативной (конкурирующей) Н1.
Различают простую и сложную статистические гипотезы. Гипотезу называют простой, если она содержит только одно предположение, и сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверки гипотезы.
Суть проверки
статистической гипотезы заключается
в том, что используется специально
составленная выборочная характеристика
(статистика)
,
полученная по выборке х1,
х2,
…, хn,
точное или приближенное распределение
которой известно. Затем по этому
выборочному распределению определяется
критическое значение Qкр
– такое, что если гипотеза Н0
верна, то
вероятность р(
)=α
мала, так что в условиях данного
исследования событие
можно
(с некоторым риском) считать практически
невозможным. Поэтому, если обнаружится
отклонение
,
то гипотеза Н0
отвергается. Правило, по которому
гипотеза Н0
отвергается или принимается, называется
статистическим
критерием.
В итоге статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки первого и второго рода. Ошибка I рода состоит в том, что правильная нулевая гипотеза Н0 отвергается. Ошибка II рода заключается в том, что принимается неправильная нулевая гипотеза.
Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через α ; второго рода – β. Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.
Вероятность не допустить ошибку II рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н0, когда она неверна, называется мощностью критерия.
4.2. Проверка статистической гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности на уровне значимости α
По выборке вычисляют
значение статистики
1. Критическая
область для проверки гипотезы, что
среднее значение генеральной совокупности
по сравнению с альтернативной
на уровне значимости α определяется
неравенством
где tn-1;α отыскивается по таблице распределения Стьюдента (приложение 2).
2. Критическая
область проверки гипотезы, что среднее
значение генеральной совокупности
по сравнению с альтернативной
на
уровне значимости α определяется
неравенством
3. Критическая
область для проверки гипотезы, что
среднее значение генеральной совокупности
по сравнению с альтернативной
на
уровне значимости α определяется
неравенством
Если вычисленное значение статистики Т попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается. В этом случае принимается альтернативная гипотеза.
Пример.
Известно, что в среднем за смену на
станке производится 110 деталей. Станок
сломался и его отремонтировали. Проверить
гипотезу об изменении производительности
станка, если за 31 смену получены данные
о производительности, для которых
=100,
Уровень значимости 0,05.
Решение.
Нулевая гипотеза Н0:
,
альтернативная
гипотеза Н1:
Найдем статистику
По таблице Стьюдента
(приложение 2) находим
Так как -2,784 <
-2,04 (Т <-
),
следовательно, основная гипотеза не
проходит, а проходит альтернативная
гипотеза
при
уровне значимости α=0,05.