Решите самостоятельно следующие задачи
1. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии
-
xi
1250
1270
1280
mi
2
5
3
2. Найти несмещенную дисперсию по данному распределению выборки объема n=10:
-
xi
0,02
0,04
0,09
mi
3
5
2
3. Результаты измерений 100 деталей микрометром представлены в таблице
интервал,мм |
4 - 6 |
6 - 8 |
8 - 10 |
10 - 12 |
12 - 14 |
14 - 16 |
16 - 20 |
частота |
8 |
13 |
25 |
28 |
12 |
10 |
4 |
Найти оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.
4. Дано эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом
-
xi
0
1
2
3
4
mi
5
2
1
1
1
Найти методом моментов оценку параметра р биноминального распределения.
5. Случайная величина Х (время работы элемента) имеет показательное распределение. Приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 200 элементов
-
xi
2,5
7,5
10,5
16,5
20,5
28,5
mi
45
15
133
1
2
4
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.
6. Найти методом моментов по выборке х1, х2,…, хn точечные оценки неизвестных параметров α и β гамма-распределения, плотность которого
.
7. Случайная величина Х (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчиняется гамма-распределению. Приведено распределение среднего уровня воды по данным 45 паводков
xi |
31,5 |
61,5 |
87,5 |
110,5 |
127,5 |
162,5 |
183,5 |
220 |
350 |
mi |
3 |
1 |
7 |
6 |
5 |
7 |
4 |
4 |
8 |
Найти оценки параметров α и β.
8. Найти методом моментов оценки неизвестных параметров:
а) биноминального распределения;
б) геометрического распределения;
в) показательного распределения;
г) нормального распределения.
9. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки неизвестных параметров:
а) распределения Пуассона;
б) показательного распределения.
10. Найти оценку параметров а и σ распределения Кэптейна, плотность которого
11.
Найти оценку параметра в
распределения , заданного функцией
плотности
по
имеющейся выборке 2; 3/2; 4/3; 1.
12.
Найти оценку параметра μ
распределения, заданного функцией
плотности
по имеющейся выборке 2; 3; 0; 1.
13. Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ=2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью β=0,95 точность оценки математического ожидания δ=0,25.
14. Проведено 20 измерений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, результаты которых приведены в таблице
-
xi
7
10
12
18
22
25
mi
2
3
5
6
3
1
Построить с надежностью β=0,99 доверительный интервал для математического ожидания.
15. Из большой партии деталей, имеющих нормальное распределение, выбраны 20 деталей, средний размер которых оказался равным 340 мм, исправленное среднее квадратическое отклонение – 20 мм. Определить с надежностью β=0,95:
а) доверительный интервал для математического ожидания;
б) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения;
в) доверительный интервал для математического ожидания, когда n=50.
16. При каком объеме выборки можно утверждать с надежностью β=0,95445, что отклонение выборочной средней от генеральной средней не превысит предельной ошибки δ=0,25, если дано среднее квадратическое отклонение σ=1.
17. Распределение рабочих по времени, затрачиваемому на обработку одной детали, дано в таблице
время обработки детали, мин |
2 - 4 |
4 - 6 |
6 - 8 |
8 - 10 |
10 - 12 |
число рабочих |
42 |
73 |
154 |
205 |
26 |
Найти 95% интервал для генерального среднего квадратического отклонения.
18. Выполнение норм выработки рабочих характеризуется данными из таблицы
Процент выполнения |
90 - 100 |
100 - 110 |
110 - 120 |
120 - 130 |
130 - 140 |
число рабочих |
10 |
160 |
100 |
60 |
20 |
Найти 95% доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.
19. Для исследования доходов населения города, составляющего 20 тыс. человек, было отобрано 1000 жителей. Получено следующее распределение жителей по месячному доходу (руб.):
xi |
менее 500 |
500-1000 |
1000-1500 |
1500-2000 |
2000-2500 |
свыше 2500 |
mi |
58 |
96 |
328 |
239 |
132 |
147 |
а) найти вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода не более, чем на 145 руб. (по абсолютной величине);
б) определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителей города;
в) каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973.
20. По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 30%. Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключен рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку социологического обследования не более 1%.
21. Для определения зольности угля взято 200 проб. В результате лабораторных исследований установлена средняя зольность – 17% при отклонении 3%. С вероятностью 0,95 найти пределы, в которых находится средняя зольность месторождения.
22. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки автомата произведено 400 испытаний, выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий известную вероятность с надежностью 0,999.
23. Выборочная проверка показала, что из 100 изделий 87 удовлетворяют стандарту. Мы хотим быть уверены на 95%, что не ошибаемся в оценке процента нестандартных изделий. Каким должен быть объем, чтобы оценить процент брака с точностью до 0,01.
24. Выборочно обследовали качество кирпича. Из 1600 проб в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Требуется определить, в каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результаты необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.
25. Произведено 12 измерений одним прибором некоторой физической величины, исправленное среднее квадраитческое отклонение s=0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.