37. Уравнения плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом: 

ax + by + cz + d = 0.

где   и   — постоянные, причём   и  одновременно не равны нулю;

 (уравнение плоскости в общем виде); 

 (векторное уравнение плоскости);

 (уравнение плоскости по точке и вектору нормали);

 (уравнение плоскости "в отрезках");

Особые случаи уравнения ax + by + cz + d = 0.

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

38. Уравнения прямой в пространстве.

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где   — радиус-вектор некоторой фиксированной точки   лежащей на прямой,   — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором),   — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки   лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки   лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

 и 

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Векторное уравнение прямой в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой   на фиксированный направляющий вектор прямой  :

где фиксированный вектор  , ортогональный вектору  , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

39. Общая формулировка задачи линейного программирования.

Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

 задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

 задача о смесях (планирование состава продукции);

 задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

 транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

 математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

 данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

 многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

 некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

 целевая функция:

= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);

(2.1)

 ограничения:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2, ...             am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;

(2.2)

 требование неотрицательности:

xj ≥ 0,

(2.3)

При этом a_ij, b_i, c_j (     ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

Примеры некоторых типовых задач, имеющих реальное экономическое содержание:

1. Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании.

2. Задача о смесях (планирование состава продукции).

3. Транспортная задача