Вопрос 3: отображения и их свойства

Определение 3.1.Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого сечение содержит не более одного элемента.

Определение 3.2.Если отношение , симметричное к отношению , также является функциональным, то отношение называется взаимно однозначным.

Определение 3.3.Если для каждого сечение содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение 3.4.Отображение, обозначим его , сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элемент подмножества множества . Этот элемент называется образом элемента при отображении .

Множество тех элементов , для которых существует , называется областью определения отображения .

Определение 3.5.Если отображение определено на всём множестве , то говорят, что задано отображение в .

Определение 3.6.Множество образов элементов при отображении называется образом отображения. Если , то образ определяется, как множество образов элементов .

Определение 3.7.Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что задано отображение на , или что - сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).

Определение 3.8.Если , то обозначает прообраз множества , т.е. множество тех элементов , для которых .

Отметим очевидные свойства образа и прообраза:

.

Определение 3.9.Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее , называется обратным к и обозначается . Если при этом отношение всюду определено, то называется инъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.

Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза и в случаях, когда обратное к отображение не существует. Если же обратное отображение существует, то прообраз можно рассматривать, как образ множества при отображении .

Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножестве числовой прямой, значения которой образуют множество . Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве , в которое входят те пары , для которых выполнено равенство . Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.

Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости

Предварительные сведения о натуральных, целых, рациональных числах. На экзамене содержание параграфов 1,2,3 следует знать, но можно не рассказывать. (Содержание параграфа 1΄ можно и не знать, сведения об аксиоматике Пеано приведены исключительно для общего развития).

§1. Натуральные числа

Натуральное число можно также отнести к тем понятиям, которые интуитивно ясны каждому человеку и, разумеется, свойства этих чисел известны из курса средней школы. В этом параграфе мы напомним эти свойства

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

Для натуральных чисел естественно вводится отношение порядка меньше или равно, обозначаемое , и для любых чисел выполняется либо соотношение , либо .

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно и , то .

2. Если и , то .

3. Если , то для всех выполняется: .

Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Если , то для всех натуральных выполняется: .

4. (дистрибутивность умножения относительно сложения, или распределительный закон).

Множество натуральных чисел обозначается N.

Мы не будем подробно останавливаться на позиционных системах счисления, как средствах для изображения чисел. В школе, да и в большинстве вычислений, используется привычная десятичная система счисления. Отметим, однако, что в ряде задач более удобны, например, двоичная или троичная системы. Также в качестве примера изобразим число 100 в двоичной системе:1100100 ( так как 100=1 64+ 1 32+0 16+ 0 8+1 4+0 2+0 1).