2.Производная

Пусть определена в окрестности точки .

По­скольку на множестве определена функция и - предельная точка для , то можно ставить вопрос

о существовании предела разностного отношения в точке .

Определение 19.2. Число (если оно существует) называют производной функции в точке и обозначают символом .

Итак,

, (2)

при условии, что предел существует.

Для обозначения производной также используется символ .

Например, скорость прямолинейного дви­жения есть производная перемещения как функции времени. Часто полез­но, по аналогии с этим, трактовать и производную любой функции в точке как скорость изменения функции в этой точке. Пример- скорость химической реакции.

Пример 1'. Линейная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная - постоянная.

◄Действительно,

.►

В частности, постоянная имеет всюду производную, равную нулю, а то­ждественная функция - производную, равную единице.

Пример 2'. Квадратичная функция имеет производную в каждой точке, и ее производная равна .

◄Действительно,

.►

Пример 3'. Модуль не имеет производной в точке 0.

◄Действительно, не существует, поскольку предел при этого отношения равен 1, а предел при равен -1 и, следовательно, предел при не существует ►

В этом примере мы встретились с ситуацией, когда существуют и . Эти величины называются, соответственно, правой и левой производной и обозначаются . Для существования производной, по теореме 9.4, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны друг другу.

Теорема 19.2. Функция , дифференцируемая в точке , имеет в этой точке производную, и последняя равна коэффициенту в представлении функции по формуле (1).

◄Согласно определению 1, -- предельная точка области определения функции . В силу формулы (1), для всех. .Так как при , то на основании формулы (2) заключаем, что существует и равна .►

Из единственности предела следует единственность коэффициента в формуле (1). Теорема 19.2 показывает, что функция , дифференцируемая в точке , представима в виде

, (3)

где при .

На основании теоремы 19.2 утверждения примеров 1' - 2' являются следст­виями соответствующих утверждений примеров 1-2. Вместе с тем, пример 3’ показывает, что функция не является дифференцируемой в точке 0.

Теорема 19.3. Функция , имеющая производную в точке , дифференци­руема в этой точке.

◄По условию, существует . Следовательно, по теореме о представлении функции, имеющей предел в точке,

, (4)

где и при . Положим

Тогда также при и по формуле (4') для всех спра­ведлива формула (3). Тем самым, дифференцируема в точке (с коэффи­циентом ).►

Таким образом, сказать, что числовая функция дифференцируема в дан­ной точке, или что она имеет в этой точке производную, одно и то же. Нахо­ждение производной функции у функции называют дифференцировани­ем этой функции.

3. Касательная к графику функции

Как и нахождение скорости неравномерного движения, нахождение ка­сательной к кривой линии - одна из основных задач, решение которых при­вело к созданию дифференциального исчисления.

Рассмотрим частный случай задачи о касательной, когда линией служит график функ­ции.

Определение 19.3. Пусть числовая функция определена на невырожден­ном промежутке и непрерывна в его точке (так что расстояние от соответствующей точки графика до его точки , , стремится к нулю при ) . Касательной к графику функции в точке называют такую прямую, проходящую через , что отношение расстояния от точки до этой прямой к расстоянию от до стремится к нулю при (т.е. что бесконечно мало по сравнению с при ).

Суть этого определения можно наглядно описать следующим образом: если пред­ставить, что точка движется по линии к точке касания , то, какова бы ни была точность наблюдения, с некоторого момен­та точка , будучи еще отличной от , уже неотличима от своей проекции на касательную (рис. 14). Таким образом, кривая, обладающая в точке каса­тельной, почти сливается с ней вблизи этой точки.

Теорема 19.4. Если функция , определенная на промежутке, дифференци­руема в его точке , то график этой функции имеет в соответствующей точ­ке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен .

◄ По условию и по теореме 19.2 предыдущего пункта, представление

, (5)

с праведливо для всех , принадлежащих некоторой окрестности точки , и при . Прямая с угловым коэффициентом , проходящая через точку , име­ет уравнение

. (6)

Пусть - точка графика с абсцис­сой и (рис. 15), - про­екция этой точки на прямую (6) и - точка этой прямой с абсциссой . Тогда направленный отрезок равен , так что, вычитая (8) из (7), получаем . Так как , а , то . Но при . Следовательно, при , т.е. (7) - уравнение касательной к графику функции в его точке . ►

Таким образом, нахождение углового коэффици­ента касательной (как и нахождение скорости) при­водит к вычислению производной.

Замечание 1. Секущая имеет угловой коэффициент (см. рис. 15). Таким образом теорема 1 показывает, что угловой коэффициент ка­сательной в точке есть предел углового коэф­фициента секущей при .