Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции

 Определение 12.1. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность подпоследовательность исходной последовательности.

Теорема 12.1. Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.

◄Поскольку последовательность сама является одной из своих подпоследовательностей ( для которой ), утверждение теоремы очевидно в одну сторону.

Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, что для любого выполняется неравенство . Если ,то для любого существует такое, что при выполняется неравенство .При этом для любой подпоследовательности при выполняется неравенство , из которого следует, что . Это означает, что .►

Теорема 12.2. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

◄

1. Если множество значений , которые принимает последовательность конечное, т.е. , то хотя бы одно из значений , обозначим его , она принимает бесконечно много раз, т.е. существует бесконечное множество номеров таких, что . Поэтому , подпоследовательность искомая.

2. Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечно. Так как - бесконечное ограниченное множество, то по теореме 6.1 существует предельная точка этого множества, равная A. Покажем, что существует последовательность такая, что . По определению предельной точки, для существует номер такой, что . Положим . Существует такое, что . Точка , т.к. , а номер выбираем так, чтобы выполнялось неравенство , что можно сделать, так как в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов этого множества. Далее, . Как и раньше, строим так, что и . Продолжая этот процесс, получаем последовательность такую, что , что означает, что .►

Определение 12.2.Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует такое , что для всех разность значений по модулю меньше , т.е. .

Теорема 12.3 (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.

◄Необходимость

То, что последовательность имеет предел, запишем так: . Легко видеть, что . По свойству модулей: . Обозначив , имеем: , т.е. из существования предела последовательности легко следует ее фундаментальность.

Достаточность

Во-первых, из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. Действительно, пусть . Тогда существует такое, что для всех имеет место неравенство . Положим . Тогда для всех , т.е. . Пусть . Из этих неравенств тогда следует, что при имеем: . Положим . Теперь для всех имеет место неравенство , т.е. - ограниченная последовательность.

По теореме 12.2 существует подпоследовательность такая, что она имеет некоторый предел , т.е. . Докажем, что вся последовательность имеет тот же предел, т.е . что , для чего достаточно доказать, что .

У нас доказано, что , что .

Если и если , то , поэтому , что и требовалось доказать. ►

Теорема 12.4 (Критерий Коши для функции) Условие: для любого существует такое , что для любых из разность значений функции в этих точках по абсолютной величине меньше , равносильно тому, что существует предел этой функции при , т.е. . (1)

◄Необходимость

Пусть существует предел . Тогда . Так как , то , . Следовательно, .

Достаточность

Доказательство достаточности значительно труднее и его не обязательно рассказывать на экзамене.

Однако для заинтересованного читателя ниже приводится схема этого доказательства.

Сначала дадим ещё одно определение предела функции при .

Определение 12.3( предела функции при по Гейне ). Говорят, что функция имеет при предел , если для любой последовательности такой, что и такой, что для всех выполнено неравенство , предел .

Теорема 12.5. Определение 8.3, т.е. определение предела по Коши, равносильно определению 12.3 предела по Гейне.

◄ Пусть сначала функция имеет предел по Коши. Рассмотрим произвольную последовательность такую, что и такую, что для всех выполнено неравенство . По определению предела по Коши, . По определению предела последовательности, . Значит, при выполняется условие , из которого сразу следует неравенство , означающее, что , Тем самым, предел этой функции по Гейне также существует.

Предположим теперь, что предел по Коши не существует и докажем, что не существует и предел по Гейне. По предположению, существует такое число , что для любого числа существует такая точка , что . Последовательно выбирая в качестве числа , находим точки такие, что . Эти точки представляют собой последовательность точек, удовлетворяющую всем условиям, входящим в определение предела по Гейне, однако для этой последовательности условие не выполнено.►

Докажем теперь, что из условия (1) вытекает, что функция имеет предел по Гейне.

Действительно, возьмём любую последовательность такую, что и такую, что для всех выполнено неравенство . Рассмотрим соответствующую последовательность . Зафиксируем и выберем соответствующее с помощью (1). Так как , имеем: . Далее, при и ,по условию (1) , . Значит, -фундаментальная последовательность. По теореме 12.3 существует предел последовательности , обозначим его .

Осталось доказать, что если взять любую другую последовательность такую, что и такую, что для всех выполнено неравенство , то .

Для этого рассмотрим последовательность . Это – последовательность точек, сходящаяся к точке и не принимающая значение , согласно своему определению. Поэтому последовательность значений также имеет предел, по доказанному выше. Тогда по теореме 12.1 предел этой последовательности равен пределу подпоследовательности и пределу подпоследовательности , равному .►