13.Общая схема ммк.

Суть решения физических задач методом Монте-Карло заключается в следующем:

•Физическому явлению или описывающим его уравнениям сопоставляется имитирующий вероятностный процесс.

•Величинам, являющимся решением задачи ,сопоставляются математические ожидания случайных величин вероятностного процесса.

•На основе специального алгоритма псевдослучайных чисел производится расчет реализаций случайных величин имитирующего процесса и решение (вместе со стандартной погрешностью) находится в виде средних значений, соответствующих математическим ожиданиям. Рассмотрим эту схему несколько более детально. Допустим, нам необходимо вычислить некоторую неизвестную величину со значением m (если она случайная, то m-среднее значение этой величины). Попытаемся придумать такую случайную величину для которой и

Рассмотрим N независимых случайных величин , для которых функций распределения совпадают с распределением случайной величины . Если N достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределению суммы будет приблизительно нормальным с параметрами . Используя правило ” ”для нормального распределения . В нашем случае имеем: или , .

Особенности метода Монте-Карло

I особенность – простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных и по результатам всех опытов проводится усреднение необходимых величин. Поэтому, иногда метод Монте-Карло называют методом статистических испытаний.

IIособенность – погрешность вычислений пропорциональна, как правило, b/N, где b=const, а N-число испытаний. Из второй особенности следует, что добиться высокой точности, используя

метод Монте-Карло, затруднительно. Поэтому считают, что метод Монте-Карло эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с не большой точностью (порядка5-I0%). Однако одну и туже задачу можно решать различными вариантами метода Монте-Карло, который отвечают различные значения . Во многих задачах удается значительно улучшить точность, выбрав соответствующий способ расчета, которому соответствует значительно меньшее значение .

15.Эффективность и погрешность ммк.

Эффективность метода оценивают по величине ( ),где t и D соответственно время счета и дисперсия оценки в расчете на одну историю. Как правило т.е. .В методе Монте-Карло разработаны методы увеличения эффективности за счет уменьшения эффективности за счет уменьшения дисперсии так, что падает быстрее, чем .

Вычислительный алгоритм метода Монте-Карло должен содержать следующие этапы:

1.Розыгрыш начальной энергии частицы и угла падения на мишень(если оно неопределенно).

2.Розыгрыш пробега до точки взаимодействия.

3.Розыгрыш типа взаимодействия, и тем или иным способом само взаимодействие;

4.Моделируетсячисло, сорт вновь рождающихся частиц.

5.Моделируются энергии, углы вылета вновь родившихся частиц, а также характеристика ядра (частицы) с которым произошло взаимодействие.

6.Розыгрыш пробега вновь родившихся (или тех же частиц – для упругого столкновения) частиц с учетом особенностей системы и возможно квазинепрерывного взаимодействия электромагнитных процессов.

И так далее до тех пор пока частицы покоятся (энергия частицы не станет меньше некоторой величины Emin, начиная с которой можно считать частицу поглощенной) или вылетом из системы: мишень, или что-нибудь в этом роде).

Затем все повторяется N раз для достижения требуемой точности функционалов Ф.

В решении задачи переноса методом Монте-Карло существует иерархия. Основным классом является модель индивидуальных соударений (МИС). Т.е. траектория частицы движущейся в веществе – есть ломаная линия, в узлах которой происходит один из возможных элементарных процессов взаимодействия, после чего частица изменяет свое состояние – движется в новом направлении пока не произойдет новое столкновение и т.д. МИС используется при моделировании нейтронных и фотонных траекторий. Вычислительные схемы в МИСе разделяет на классы:

Класс A – все элементарные процессы моделируется индивидуально.

Класс B – здесь часть процессов группируется по какому–нибудь признаку (например, по потерям энергии) и окончательное состояние вычисляется на основе усредненных характеристик.

Погрешность

Из соотношения следует метод расчета m и оценка погрешности метода. Итак для получения значения некоторой величины с помощью случайных чисел, найдем N значений случайной величины (т. к. все имеют одно распределение, то это эквивалентно нахождению одного значения каждой из ).

з соотношения следует, что среднее значение(среднее арифметическое)-этой величины равно с большой вероятностью величине m т.е. , а погрешность вычисления не превышает . Иногда для оценки погрешности используют вероятностную ошибку . Очевидно, эта ошибка стремится к нулю с ростом N.