12. Метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло(ММК)–это численный метод решения математических(физических)задач при помощи моделирования случайных чисел. Происхождение метода Монте-Карло:

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д.Неймана и С.Улама. В1944году,в связи с работами по созданию атомной бомбы Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Первая работа, где этот вопрос систематически излагался, принадлежит Метрополису и Уламу. Принятосчитать1949г., когдапоявиласьихработа датой рождения метода. Теоретическая основа метода была известна уже давно, однако, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению компьютеров.

Примеры моделирования методом Монте-Карло:

- Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении бинарных столкновений.

- Прямое Монте-Карло моделирование разреженных газов.

-Большинство кинетических Монте-Карло моделей относятся к числу прямых (в частности, исследование молекулярно-пучковой эпитаксии). Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий

класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии и помехи ряд других. К настоящему времени метод является мощным инструментом при исследовании большого количества задач: физических, экономических, инженерных и др. Он завоевал такую популярность в первую очередь благодаря своей простоте и приспособленности к решению разнообразных задач. Метод Монте-Карло позволяет в принципе моделировать любой процесс на протекание, которого влияют случайные величины (факторы). Во-вторых, для многих задач, несвязанных со случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, позволяющую решать задачу.

14.Использование ММК при численном моделировании физических процессов.

Бурное развитие вычислительной техники сделали метод Монте-Карло основным методом во многих приложениях. Большинство задач, связанных с прохождениями электронов, фотонов, нейтронов решенным методом Монте-Карло. Диапазон таких задач только в области переноса необычайно широк: отставшего уже традиционным расчет энерговыделения и защиты от излучений до интерпретации новейших экспериментов в физике высоких энергий.

Такая гибкость метода обусловлена отсутствием ограничений, обсужденных в разделе методов решений уравнений. Важно, что этот метод не требует записи соответствующего уравнения переноса, фактически нет проблем с формулировкой дискретной модели. В своем простейшем и одновременно наиболее надежном и распространенном вариант: прямом моделировании. Этот метод заключается в численном моделировании процессов взаимодействия и распространения частиц в веществе, т.е. в задаче прохождения частиц через вещество метод Монте-Карло сводится к построению большого числа траекторий частиц, представляющих некоторые ломаные линии, прямолинейные участки до которых характеризуют свободные пробеги до столкновений. Этот пробег, а также результат столкновения, т.е. новое состояние частицы (направление движения, энергия рассеянной частицы и вторичных частиц) являются случайными величинами, описываемые соответствующим и вероятностными распределениями. Конкретная реализация величин, определяющих состояние частиц, выполняется с помощью розыгрышей из этих распределений. Полученные таким образом результаты конечной выборки (N-траекторий) обрабатываются статистическими методами. Результаты моделирования методом Монте-Карло содержат статистические флуктуации, сопутствующие к реальному эксперименту. Это обстоятельство сильно отличает расчеты этим методом от результатов решения кинетического уравнения, где оперируют фактически средними потоками. Несомненным достоинством метода Монте-Карло, кроме его простоты, возможность учета даже самых сложных геометрических границ. Метод максимально приближен к использованию на ЭВМ .Единственным ограничением является, как правило, большие затраты машинного времени для получения результата с необходимой точностью.