7.Метод Неймана

Метод Неймана (метод отбраковки) основан на следующей теореме из математической статистики и теории вероятностей. Пусть ξ-случайная величина, с плотностью распределенияp(x) ≤ c , (c -некоторое положительное число) на интервале a<x<b.

Теорема. Если и - независимые случайные величины и = a + (b − a) , = c (1) ,

то случайная величина ξ, определяемая условием:ξ = , если < p( ) (2)имеет плотность вероятности равную p(x).

Исходя из этой теоремы метод получения значений случайнойвеличины ξ с плотностьюраспределения p(x) ≤ c на интервале(a, b) состоит в следующем:

1. Получаем пару значений , с помощью стандартного генератора.

2. С их помощью строим два случайных числа = a + (b − a) (3) равномерно распределенное на интервале (a, b) и = c (4) равномерно распределенное на интервале (0, c).

3. С помощью чисел и проверяем выполнение условия < p( )(5)

4. Если условие (4) выполняется, то считаем, что значение случайной величины ξ равно , если условие не выполняется, то повторяем процедуру, начиная с шага 1.

8. Метод суперпозиции

Первая версия этого метода получения случайных чисел с заданным законом распределения вероятностей была предложенаДж.Батлером.

Предположим, что функция распределения F(x) может быть представлена в виде: F(x)= (x) (1) так, что все значения > 0 и +. . .+ = 1, причем достаточно “простые” функции (например, могут быть разыграны методом обратной функции).Введем дискретную величину ν с помощью числа слагаемыхв (1) и коэффициентов

ν = (2), т.е. значения случайной величины ν представляют собой номер

слагаемого в ряде (1), а значения коэффициентов этого разложения представляют собой вероятности появления соответствующих номеров слагаемых.Тогда алгоритм розыгрыша случайной величины ξ с функцией распределения F (x) (1) методом суперпозиции состоит в следующем:

1. Получаем пару значений , с помощью стандартного генератора.

2. С помощью проведем розыгрыш дискретной величины ν(2) посредством алгоритма,изложенного в (??). Результатом розыгрыша будет число k, нумерующее соответствующее слагаемое в разложении функции распределения (1).

3. С помощью полученного числа k выбираем соответствующую функцию (x) и проводим розыгрыш значенияξ методом обратной функции, используя число :x = ( ) (3).

4. При необходимости повторяем шаги 1 − 3 несколько раз с помощью значений стандартной величины γ для получения новых значений случайной величины с законом распределения вероятностей F (x) (1).

9. Метод Батлера

Пусть функцию плотности распределения можно представить в виде:

p(x) = (1), где > 0; 0 ≤ (x) ≤ 1.Функции (x) являются плотностями распределений, т.е. (x) ≥ 0 длявсех x из областиопределения (a < x < b) и (2).Обозначим функции распределений вероятностей как (x) для соответствующих (x): (x) = (3).Тогда алгоритм розыгрыша случайной величины x подчиняющейся закону распределения c плотностью вероятности p(x) (1) выглядит следующим образом:

1. Получаем пару значений , с помощью стандартного генератора.

2. С помощью выбираем случайное число j (1 ≤ j ≤ n) нумерующее соответствующее слагаемое в разложении функции распределения(1) с вероятностью пропорциональной посредством алгоритма, изложенного в (1), т.е. такое для которого выполняется условие / < < / (4).

3. Разыгрывается случайная величина x с плотностью распределения (x) методом обратнойфункции, т.е.x = ( ).

4. Далее, отбирается такая случайная величина x для которой (x) ≤ . В противном случае величина x бракуется и процедура повторяется вновь.

Этот метод удобен, если число слагаемых n в разложении (1) невелико, а розыгрыш плотностей распределений (x) производится методом обратной функции. Для повышения эффективности важно, чтобы значение (x) не сильно отличаются от 0 для всех x (т.е. пункт 3 выполнялся бы

достаточно редко.).Среднее число попыток для розыгрыша одной случайной величины: = .Данный метод активно используется при моделировании характеристик процессов взаимодействия элементарных частиц.