11. Моделирование специальных распределений

Пусть имеется случайная величина ξ c нормальным распределением, которое имеет математическое ожидание a и дисперсию D:

a = 0, σ = = 1 (46)

Тогда для ее pозыгpыша можно использовать :

1. Метод с использованием центральной предельной теоремы.

(47)

при n → ∞ случайная величина имеет нормальное распределение

с параметрами (46). Обычно, для удобства выбирают n = 12 т.е.

В ряде случаев для улучшения свойств (более близкое к нормально-

му) применяют специальное преобразование, которое дает случайную

величину с нормальным распределением:

(48)

2. Используя двумерное нормальное распределение

(49)

Случайные величины имеют нормальное стандартное распределение:

Заметим, что ξ и ν подчиняются совместно распределению (48).

Отметим, что для получения значений случайной величины ξ, имеющего нормальное распределение с произвольными значениями параметров a, σ используют преобразование

(50)

21. Моделирование пробега электронов и позитронов.

Для электронов схема моделирования пробега аналогична моделированию пробегов фотонов. Но эта схема усложняется в связи с тем, что электроны взаимодействуя со средой теряют энергию за счет ионизационных потерь и испытывают многократное кулоновское рассеяние. Эти две особенности необходимо учесть при моделирование свободного пробега электронов (позитронов). Имеется несколько схем моделирования. Приведем одну из схем моделирования (“работает” хорошо при энергиях E > 1МэВ).

Итак пусть необходимо разыграть пробег электрона (позитрона) с энергией E и движущийся в некотором направлении, которое определяется направляющими косинусами u,v,w в трехмерном пространстве. Тогда алгоритм моделирования имеет вид:

1. Разыгрывается пробег с помощью стандартной величины γ, аналогично розыгрышу пробега фотонов

где

N - число процессов, в которых участвует электрон (позитрон), а σ_j(E) – сечения этих процессов. Когда не зависит от энергии для больших t, то можно продолжать по следующей схеме.

Поскольку до дискретного взаимодействия электрон теряет энергию

за счет процессов ионизации, то второй шаг состоит в вычислении

ионизационных потерь;

2. Моделируются ионизационные потери путем:

где – ионизационные потери на единицу длины (для электронов см. формулы (72),(74)), а величина t’ определяется Длина R₀(E,E_min) – средний пробег для замедления до некоторой энергии обрезания E_min, которая выбирается исходя из условий эксперимента, т.е. R₀(E,E_min) находится из соотношения

За счет многократного кулоновского рассеяния происходит изменение направления движения электрона, поэтому на следующем этапе

3. моделируется многократное кулоновское рассеяние на расстоянии t’. Результатом этого розыгрыша будут сферические углы θ,φ, которые определяют отклонение движения частицы от первоначального (см. рисунок 14);

4. Частица переносится на расстояние t с энергией E−δE и направлением движения, которое задается направляющими косинусами u’,v’,w’. Направляющие косинусы u’,v’,w’ можно рассчитать зная первоначальные направляющие косинусы u,v,w и углы отклонения θ,φ, возникающие при моделировании многократного кулоновского рассеяния:

где компоненты векторов задаются соотношениями

5. Частица переносится на расстояние R₀(E,E_min), если потери энергии δE > E_min и ее движение прекращается т.е. частица считается остановившейся в данной точке.