5. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп для двух переменных: постановка, понятие выпуклого многогранника области допустимых решений, геометрическая интерпретация целевой функции.

Графический метод решения задачи линейного программирования заключается в изображении ограничений линиями, составляющими в совокупности ОДЗ

a11 x1 + a11 x2 + …… + a11 xn >(<,=) b1 ,

a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn >(<,=) b2 ,

am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn >(<,=) bm ,

и линейной функции

L = c1 x1 + c2 x2 +………+ cn xn, которая перемещается по ОДЗ в направлении своего градиента приращения.

Решением в этом случае будет являться последняя точка касания целевой функции с областью допустимых значений. Однако вместо единственной точки их может быть: бесконечное количество, в случае если целевая функция параллельна одной из линий ограничения; ни одной, если ограничения несовместимы и ОДЗ не существует; или может быть бесконечно большим числом, если ОДЗ не замкнуто.

Общий алгоритм решения ЗЛП графическим методом:

1. Строим многоугольник ограничений ОДР

2. Строим линию целевой функции

3. Определяем направление градиента целевой функции (по нормали)

4. Двигаем Линию Целевой Функции (ЛЦФ) в направлении < или > (по условию задачи) до тех пор, пока не коснется последней общей точки ОДР и ЛЦФ

5. Если линия параллельна стороне многоугольника ОДР то любая точка этой линии оптимальна

6. Общий алгоритм графического решения злп, варианты решения злп. Онализ оптимального решения на чувствительность.

+

7. Геометрическая интерпретация злп с n переменными: выпуклость множества планов злп. Этапы решения злп.

Геометрическая интерпретация и метод графического решения ЗЛП. Исследование области допустимых решений ЗЛП. Исследование решения на чувствительность.

Целевая функция z(x)= c₁x₁ + c₂x₂ при фиксированном значении z(x) = L определяет на плоскости прямую линию c₁x₁ + c₂x₂ = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Прямые параллельны, потому что изменение значения L влечет изменение лишь длин отрезков, отсекаемых линией уровня на осях, а угловой коэффициент прямой tga =-c₁/c₂ останется постоянным (см. рис. 2.3). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Напомним, что линии уровня характеризуются тем, что во всех точках одной линии уровня значения функции z(x) равны между собой. Градиентом функции f(x) =  называется вектор частных производных этой функции.

Исследование решения на чувствительность.

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

№	Вид ОДР	Вид оптимального решения	Примечания
1.1 1.2 1.3	Многоугольная замкнутая	Единственное решение	L(X)—>max
		Единственное решение	L(X)—>min
		Бесконечное множество решений
2.1 2.2 2.3 2.4	Многоугольная незамкнутая	ЦФ не ограничена снизу
		ЦФ не ограничена сверху
		Единственное решение	L(X)—>max
		Бесконечное множество решений	L(X)—>min
3.1 3.2 3.3	Луч	Единственное решение	Количество ограничений больше одного
		ЦФ не ограничена сверху
		ЦФ не ограничена снизу
4.1 4.2	Отрезок	Единственное решение
		Бесконечное множество решений
5	Единственная точка		Все ограничения - неравенства
6		Решений нет	Все ограничения - неравенства
7		Решений нет	Все ограничения - неравенства
8		Решений нет	Ограничения в виде равенств и неравенств

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

1) на сколько можно увеличить (ограничения типа  ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

2) на сколько можно уменьшить (ограничения типа  ) запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (ограничения типа  ) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

8. Свойства решения ЗЛП: условие совместности системы ограничений, базисные и свободные переменные, понятие опорного плана решения, как крайней точки многогранника допустимых планов, вырожденный план.

(1) и условия неотрицательности переменных, исключающие обратные перевозки x_ij>0; i= 1, 2, …, k; j= 1, 2,., l.

Эти условия образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Как видим, система ограничений задана в основном (k + l) уравнениями. Установим условия, при которых эта система будет совместной, т.е. будет иметь решения.

Сложим элементы x_ij матрицы перевозок по строкам, каждая строка в сумме дает M_i, и в итоге получим . Сложим те же элементы по столбцам, каждый столбец дает N_j, и в сумме получим . Но от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому для любого допустимого плана обязательно будет выполняться условие

.

Равенство является необходимым условием совместности ограничений задачи.

Докажем и достаточность этого условия: если запасы равны потребностям, то всегда имеется допустимый план.

Действительно, пусть . Рассмотрим такие числа:

Убедимся, что эти числа образуют допустимый план. Для этого достаточно проверить, что они удовлетворяют всем ограничениям задачи.

Просуммируем эти числа по индексу i:

.

Но величины N_j, от индекса i не зависят и их можно вынести за знак суммы. В результате

или

,

Следовательно, взятые числа удовлетворяют группе уравнений (1).

Просуммируем эти числа по индексу j:

Вынося постоянные M_i и за знак суммы и имея в виду, что , получаем

или в развернутом виде

Как видим, наши числа удовлетворяют группе уравнений (1). Эти числа неотрицательны, т.е. система ограничений полностью удовлетворяется. Таким образом, допустимый план существует, что и требовалось доказать.

Равенство запасов потребностям есть необходимое и достаточное условие совместности и, следовательно, разрешимости транспортной задачи.

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

Однако сначала напомним о некоторых понятиях, важных с точки зрения дальнейшего разговора.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными (или свободными).

Базисным решением системы m линейных уравнений c n переменными (m < n) называется всякое ее решение, в котором все неосновные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

В частном случае, когда в систему ограничений входят только две переменные x₁ и x₂, это множество можно изобразить на плоскости. Так как речь идет о допустимых решениях (x₁, x₂ ≥ 0), то соответствующее множество будет располагаться в первой четверти декартовой системы координат. Это множество может быть замкнутым (многоугольник), незамкнутым (неограниченная многогранная область), состоять из единственной точки и, наконец, система ограничений-неравенств может быть противоречивой.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Из теоремы 2 можно сделать вывод о том, что единственность оптимального решения может нарушаться, причем, если решение не единственное, то таких оптимальных решений будет бесчисленное множество (все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений, и наоборот.

Следствием из теорем 2 и 3 является утверждение о том, что оптимальное решение (оптимальные решения) задачи линейного программирования, заданной (или приведенной) ограничениями-уравнениями, совпадает с допустимым базисным решением (допустимыми базисными решениями) системы ограничений.

Таким образом, оптимальное решение ЗЛП следует искать среди конечного числа допустимых базисных решений.

Опорный план. Перепишем основную задачу линейного программирования в векторной форме: найти максимум функции

F=CX (3.5)

при условиях:

x1P1+x2P2+ ... +x_nP_n = P0 (3.6)

Х >=0 (3.7)

 

где  C = (с₁, с₂, ..., сn), Х = (х₁, х₂, ..., х_n);  СХ  -  скалярное  произведение;  Р₁, Р₂, ..., Рn и Р₀ - m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи.

 План X = (х₁, х₂, ..., х_n) называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов P_j, входящих в разложение (3.6) с положительными коэффициентами x_j, линейно независима.

Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т.е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.

Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной, содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных.

Вырожденность. Если опорный план имеет ровно m отличных от нулякомпонент, то он называется невырожденным опорным планом. Если число ненулевых компонент опорного плана меньше m, то он называется вырожденным опорным планом.

Выбираются m переменных, называемых базисными и обладающих следующим свойством: они входят с коэффициентом 1 только в одно уравнение и с коэффициентом 0 в остальные уравнения системы.

Остальные n – m переменных называют свободными.

Все свободные переменные полагаются равными 0, а базисные переменные — равные правым частям соответствующих ограничений системы .

В нашем случае было так

X=(x1..xn,y1..ym)

X1..xn-свободные

Y1…ym-базисные

Так же в симплекс матрице было

Базисные\сврбодные	-х1	-х2	-xn
Y1
Y2
ym