19. Решение задачи распределения ресурсов методом динамического программирования: интерпретация уравнений Беллмана для двух предприятий; погружение в пространство задач.

Динамическое программирование (ДП) – это метод, приспособленный для решения оптимизационных задач, связанных с многошаговыми процессами. В задачах динамического программирования находится ряд оптимальных решений последовательно для каждого этапа, обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом.  Многошаговый процесс можно интерпретировать так: весь цикл разбить на несколько этапов и на каждом этапе требуется принять то или иное решение.  При решении задач методом ДП вводят функцию Беллмана fk, которая представляет собой максимальную эффективность многошагового процесса, состоящего из К шагов. Для вычисления функции Беллмана составляется так называемое функциональное уравнение Беллмана, позволяющее находить значения функции Беллмана fк+1, если известно fk. 

Требуется распределить A единиц ресурсов между всеми предприятиями так, чтобы выпуск продукции был максимальным. Обозначим через Xk количество ресурсов, которое нужно выделить K - му предприятию, тогда математическая модель задачи запишется так:  φ1(X1)+φ2(X2)+…+φn(Xn)→max  при ограничениях  X1+X2+…+Xn=A  X1≥0, X2≥0,…,Xn≥0.  Если φ1, … φn – заданы таблично, то задача решается методами динамического программирования.  Рассмотрим оптимальное распределение ресурсов с помощью метода динамического программирования.  При решении задачи о распределении ресурсов введем функцию Беллмана fk(X) – максимальное количество продукции, которое могут выпустить K предприятий, при этом αk(X) – количество ресурса, получаемое K - ым предприятием при оптимальном распределении ресурса между первыми предприятиями.  Предположим, что fk(X) известно, тогда вычислим fk+1 (X).  Пусть К+1 – ое предприятие получает t единиц (0 ≤ t ≤ X) ресурса, тогда оно выпускает φk+1 (t) единиц продукции. На долю же первых K предприятий останется X – t единиц ресурса.  В силу принципа оптимальности: чтобы получить больше продукции, необходимо распределить оптимально оставшиеся (X – t) единиц ресурса между K предприятиями. Тогда общий выпуск продукции будет равен  φk+1(t)+fk(X – t).  Но, чтобы этот общий выпуск продукции был максимальным, необходимо t подобрать так, чтобы эта сумма достигала наибольшего значения, т.е. fk+1 (X). Функциональное уравнение Беллмана: 

Зная f1(X), находим f2(X), затем f3(X) и т.д

Вроде достаточно а про погружение я не знаю…. Может это и есть инвариантная оптимизация??? У кого в лекциях чего?

20. Алгоритм решения задачи распределения ресурсов методом дп: прямой и обратный пути.

Прямой ход:

1. F1(x)=f1(x)

2. F2(x)= (f2(x)+F1(x))

3. F3(x)=  (f3(x)+F2(x))

4. F4(x)=  (f4(x)+F3(x))

………………………….. n)Fn(x)=  (f_n(x)+F_n-1(x)) Обратный ход: W=Fn(x) X^*_n=arg max F_n(x) n-1) x^*_n-1=arg max F_n-1(x) n-2) x^*_n-2=arg max F_n-2(x)

Правильно ли???? Исправьте ребят и скажите… мало ли может я ошибаюсь!!! Извините.