БИЛЕТ №1

1. Метод Зейделя

2. Погрешность произведения и частного

1) Метод зейделя

- итерационный метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b. Решение системы х* находится как предел последовательности   вычисляемой по правилу

i=l, 2, ..., п,

где a_ij- элементы матрицы А, b_i - компоненты вектора b;диагональные элементы матрицы Апредполагаются отличными от нуля. Вычисления (*) отличаются от простой итерации метода лишь тем, что на k-м шаге при вычислении i-й компоненты учитываются вычисленные k-вприближения первых (i-1) компонент.

В матричной записи 3. м. представляется следующим образом. Если А=В+С, где

то соотношение (*) соответствует матричному соотношению x^(k)=- В ^-1 Сх^(k-1)+В ^-1b. З. м. равносилен методу простой итерации, примененному к системе x=-B^-1Cx+B^-1b, эквивалентной исходной. Для сходимости 3. м. необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицыВ ^-1 С по модулю были меньше 1. Иначе, чтобы все корни уравнения det(C+Вl)=0 были по модулю меньше 1.

На практике более удобны следующие достаточные условия сходимости 3. м. 1) Пусть при всех i,

 д<1. Тогда 3. м. сходится и для

скорости сходимости имеет место оценка:

2) Пусть А- эрмитова положительно определенная матрица. Тогда 3. м. сходится.

2)Погрешность произведения и частного

Рассмотрим точные числа , , , и их приблизительное значение , , . a

Причём

aR=> R

Рассмотрим точные числа , , , и их приблизительное значение , ,

;

A1=a1+∆1; A2=a2+∆2.

.

Разделив правую и левую часть на (а), и переходя к модулям, получим:

Так как ∆2 мало по сравнению с a2, предположим что:

⟹

за относительную погрешность частного принимают :

;

Билет №2

1. Метод левых прямоугольников

2. Погрешность суммы и разности

Метод левых прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2 h, ... , x_n-1=a+(n-1) h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула левых прямоугольников:

или вот эта формула. (одно и то же)

 

Погрешности Суммы и разности

Билет №3

1. Метод итераций слу

2. Постановка задачи численного интегрирования

Метод итераций СЛУ

Постановка задачи численного интегрирования

Теперь попробуем вычислить каким-либо методом математического анализа аналогичный интеграл вида и убедимся в том, что он аналитически не вычисляется. Однако практические задачи в своем большинстве приводят именно к такого типа интегралам. Как решается эта проблема? В этих случаях применяется численное интегрирование. Кроме того, если функция y=f(x) задана таблично, то приближенное вычисление интеграла также выполняется численно.

Прежде чем переходить к численным методам подсчета интегралов, вспомним, как вводится интеграл Римана в курсе математического анализа. Проводится разбиение отрезка [a, b] на N частичных отрезков [xi-1, xi], i = 1, ..., N, внутри каждого из которых выбирается произвольная точка ξi. Далее составляется интегральная сумма:

SN=∑Ni=1 f(ξi ) (xi - xi-1 )

Тогда интеграл Римана определяется как следующий предел интегральных сумм:

Если зафиксировать число N и не переходить к пределу, то получим некоторое приближенное значение интеграла. Простейшие численные методы нахождения значения интеграла основаны на подобных соображениях.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла: (4.15)

где y=f(x) - заданная функция.

Введем на отрезке [a,b] сетку :

Точки xi называют узлами сетки (i=1, ..., N), отрезки [xi-1,xi] - частичными отрезками, числа hi=xi-xi-1 называют шагами сетки (i=1, ..., N).

В качестве приближенного значения интеграла L[f] рассмотрим следующее: L_N[f] ≡ (4.16)

где li[f] - формула для приближенного вычисления интеграла на частичном отрезке [xi-1,xi].

Билет №4