Вопрос 5

Сопряженные комплексные числа имеют одинаковый модуль

Аргумент комплексного числа – это угол F между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда…

  Операция комплексного сопряжения числа   заключается в изменении знака у мнимой части этого числа. Полученное число  называется комплексно сопряженным числу  .

 

 Операция комплексного сопряжения обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

(1)

(2)

(3)

(4)

Вопрос 6

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :

Определим формальное выражение

.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

Сходимость данного ряда легко доказывается:

.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.

Свойства

• Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в нуль.

•  — периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .

• Алгебраически, экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом:

(формула Эйлера)

В частности, имеет место (тождество Эйлера),

Вопрос 7

Вопрос 8

Многочленом называется сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида .

Теорема Безу. Если многочлен   разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P_n(a). 

Вопрос 9

Многочлен с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное. Корни многочлена связаны с его коэффициентами. Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.