Постановка задачи.

Относительно параметра θ имеется некоторая основная или, или проверяемая гипотеза H₀ : θ Θ. Мы должны построить такой статистический критерий, который позволяет заключить, согласуется ли выборка x₁, x₂,…x_n с гипотезой H₀ , или нет.

Обычно критерий строится с помощью критического множества. Из n – мерного множества всех возможных значений (x₁, x₂,…x_n) выделяется такое подмножество S, называемое критическим, что при (x₁, x₂,…x_n) S гипотеза отвергается, а в пртивоположном случае — принимается. Полученный с помощью критического множества S статистический критерий иногда называют S-критерием.

Мы будем рассматривать главным образом две основные гипотезы:

H₀: p(x)= p(x, θ₀) — основная гипотеза;

H₁: p(x)= p(x, θ₁) — альтернативная гипотеза.

Есть задачи, в которых H₀ и H₁ — равноправны. Однако очень часто в реальных задачах эти гипотезы выступают наравнопрвно.

Уровень значимости и мощность критерия.

Рассмотрим две простые гипотезы: проверяемую H₀: θ = θ₀, и конкурирующую H₁: θ = θ₁. С каждым S-критерием связаны ошибки двух родов. Ошибка 1-го рода — отвержение гипотезы H₀, когда она верна; ошибка 2-го рода — принятие H₀, когда верна конкурирующая гипотеза H₁. Обозначим

Тогда вероятность ошибки первого рода S-критерия равна , а вероятность ошибки второго рода равна . В самом деле пусть гипотеза H₀-верна, тогда θ = θ₀. Гипотеза H₀— отвергается, если (x₁, x₂,…x_n) S. Вероятность этого равна . Вероятность ошибки второго рода равна , где , — множество значений (x₁, x₂,…x_n).

Опр: Вероятность ошибки первого рода α называется уровнем значимости S-критерия. Функция аргумента θ называется функцией мощности S-критерия.

Из определений следует, что Отсюда видно, что чем больше мощность в точке θ₁, тем меньше вероятность ошибки второг рода.

Параметрические критерии для распознавания двух простых гипотез H₀ и H₁ строят следующим образом. Сначала задается уровень значимости α, затем из множества S_α всех S-критериев с уровнем значимости α выбирается критерий S^*, для которого мощность при θ = θ₁ принимает наибольшее значение, т.е.

Такой критерий называется оптимальным или наиболее мощным.

Теорема Неймана-Пирсона.

Для любого 0≤α≤1 существует число С такое, что , тогда и эта вероятность минимальна среди всех критериев с уровнем значимости α.

№25 Построение оптимального критерия для проверки гипотез о параметрах нормального распределения.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизве­стного распределения производится так же, как и про­верка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины— критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки ги­потезы о предполагаемом законе неизвестного распреде­ления.

Имеется несколько критериев согласия: («хи квад­рат») К. -Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Огра­ничимся описанием применения критерия Пирсона к про­верке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюда­емые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Обычно эмпирические и теоретические частоты раз­личаются. Например

эмп. частоты .... .6 13 38 74 106 85 30 10 4

теорет. частоты... 3 14 42 82 99 76 37 11 2

Случайно ли расхождение частот? Возможно, что рас­хождение случайно (незначимо) и объясняется либо ма­лым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0. генеральная

совокупность распределена нормально, надо сначала вы­делить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

(**)

по таблице критических точек распределения χ², по сданному уровню значимости а и числу степеней свободы k=s—3 найти критическую точку

Если < —^нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если > —нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае .не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5—8 вариант; малочисленные группы следует объединять в одну суммируя частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, вычислить асимметрию и эксцесс (см. гл. XVII, § 8).

Замечание 3. Для контроля вычислений формулу (**) пре­образуют к виду

№26 Непараметрические критерии: Критерий согласия Пирсона (описание).

Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема п получено эмпири­ческое распределение:

варианты ……. хi х1 х2 … хs

эмп. частоты... пi п1 п2 ... пs

Допустим, что в предположении нормального распре­деления генеральной совокупности вычислены теорети­ческие частоты п'i (например, так, как в следующем па­раграфе). При уровне значимости а требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распреде­лена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

(*)

.Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее не известные значе­ния. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (*), и, следовательно, он в известной степени характеризует близость Эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положи­тельных и отрицательных разностей. Делением на до­стигают уменьшения каждого из слагаемых; в против­ном случае сумма была бы настолько велика, что при­водила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда. когда она справедлива. Разумеется, приведенные сооб­ражения не являются обоснованием выбранного крите­рия, а лишь пояснением.

Доказано, что при п—>∞ закон распределения слу­чайной величины (*) независимо от того, какому закон распределения подчинена генеральная совокупность, стре­мится к закону распределения χ² с k степенями свободы Поэтому случайная величина (*) обозначена через χ², :

сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат»

Число степеней свободы находят по равенству k == s—1—г, где s—число групп (частичных интервалов выборки; г—число параметров предполагаемого распре­деления, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение—нормальное, то оценивают два параметра (математическское ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому г =2 и число степеней свободы k==s—1—r =s—1—2=

=s—3.

Если, например, предполагают, что генеральная сово­купность распределена по закону Пуассона, то оцени­вают один параметр К, поэтому г==1 и k=s—2.

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требо­вания, чтобы вероятность попадания критерия в эту об­ласть в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а:

.

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы—неравенством .

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

№27 Понятия о дисперсионном анализе. Теорема Фишера (без доказательства). Критерий Фишера.

Пусть генеральные совокупности Х1,Х2, . • ., Хр распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную, дисперсию; математические ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним

проверить нулевую гипотезу Н0:М (Х1) = М (Х2) ==...=М (Хр) о равенстве всех математических ожиданий. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы, для сравнения нескольких средних (р > 2) можно сравнить их попарно. Однако с возрастанием числа средних возрастает и наибольшее различие между ними: среднее новой выборки может оказаться больше наибольшего или меньше наименьшего из средних, полученных до нового опыта. По этой причине для сравнения нескольких сред­них пользуются другим методом, который основан на :равнении дисперсий и поэтому назван дисперсионным анализом (в основном развит английским статистиком Р. Фишером).

На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы ; становить, оказывает ли существенное влияние некото­рый качественный фактор F, который имеет р уров­ней F1, F2.. ., Fр на изучаемую величину X. Например, если требуется выяснить, какой вид удобрений наиболее эффективен для получения наибольшего урожая, то фак­тор F—удобрение, а его уровни—виды удобрений.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в срав­нении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной слу­чайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на X; в этом случае средние наблюдаемых зна­чений на каждом уровне (групповые средние) различа­ются также значимо.

Если уже установлено, что фактор существенно влияет на X, а требуется выяснить, какой из уровней оказывает наибольшее воздействие, то дополнительно произ­водят попарное сравнение средних..

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предполо­жению; если дисперсионный анализ покажет, что и мате­матические ожидания одинаковы, то в этом смысле сово­купности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факторов на нескольких постоянных или случайных уровнях и выясняют влияние отдельных уров­ней и их комбинаций (многофакторный анализ).

8