6.2. Дюрация и кривизна портфеля облигаций

Задача 6.6.

Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности дюрация -портфеля облигаций является средневзвешенной дюрацией входящих в него облигаций. Доказательство привести для портфеля из двух облигаций.

Решение.

Цена и дюрация первой облигации равны и , второй - и .

Инвестор формирует портфель, купив первую облигацию в количестве ,

вторую - штук. Цена портфеля равна:

Возьмем производную по r :

(6.1)

Умножим правую и левую части равенства (6.1) на

(6.2)

Умножим и разделим первое слагаемое правой части равенства (6.2) на ,

Второе – на

(6.3)

Левая часть равенства (6.3) представляет собой дюоацию портфеля. Выражения в скобках в правой части равенства — это соответственно дюрации первой и второй облигаций. Поэтому можно записать:

(6.4)

Отношения и = это уд. веса облигаций в стоимости портфеля,

обозначим их через и . Равенство (6.4) принимает вид:

(6.5)

Равенство (6.5) говорит о том, что дюрация портфеля является средне- взвешенной дюрацией входящих в него облигаций.

Задача 6.7.

Портфель состоит из трех облигаций. Цена первой 915,75 руб., второй 1000 руб., третьей 1194,25 руб. Первая облигация погашается через 5 лет, вторая 10 лет, третья 15 лет. Инвестор покупает 6 штук первой облигации, 5 второй и 4 третьей. Дюрация первой облигации равна 4,61, второй 7,8, третьей 9.75 года. Кривая доходности имеет горизонтальную структуру. Определить дюрацию портфеля.

Решение.

Стоимость портфеля равна:

915,75 6+1000 5+1194,25 4=15271,5руб.

Удельные веса облигаций в портфеле равны:

Дюрация портфеля составляет:

0,36 4,61+ 0,33 7,8+ 0,31 9,75 = 7,26 года

7. Оценка управления портфелем

Задача 7.1.

Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн.руб. В конце года его стоимость выросла до 105млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб. В конце года его стоимость составила 110 млн.руб. В начале третьего года в портфель внесли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 115 млн.руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб. В конце года его стоимость составила 120 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.

Доходность управления портфелем за первый год составила:

В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб., поэтому на второй год

менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 105 — 10=95 млн.руб.

Доходность управления портфелем за второй год равна:

В начале третьего года в портфель внесли 20 млн.руб., поэтому на третий год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 110+20=130 млн.руб.

Доходность управления портфелем за третий год равна:

В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб., поэтому на четвертый год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 115-5 =110 млн.руб.

Доходность управления портфелем за четвертый год равна:

Доходность портфеля в расчете на год составляет:

или 4,08% годовых.

Задача 7.2.

Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн. руб. . В конце года его стоимость выросла до 110 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 100 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 10 млн. руб, В конце года его стоимость составила 95 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 93 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.

Доходность портфеля в расчете на год равна:

Задача 7.3.

Менеджер управлял портфелем в течение трех лет. В начале первого года в -портфель инвестировали 50 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 60 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года. его стоимость составила 55 млн. руб. В начале третьего года из портфеля. изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 57 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.