1 Вопрос.

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

Матрица - это прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбов. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

На первом месте – кол-во строк

На втором месте – кол-во столбцов.

Матрица всегда записывается в круглых скобках.

Виды матриц :

• Квадратная матрица (кол-во строк = кол-ву столбцов);

• Диагональная (n строки = n столбца);

• Диагональная (квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы = 0);

• Единичная (диагональная матрица, у которой по диагонали стоят только 1);

• Нулевая (матрица состоящие из одних нулей);

• Матрица строка ( матрица, состоящая из одной строки);

• Матрица столбец или вектор (матрица, состоящая из 1 столбца).

Операции над матрицами:

1. Умножение матрицы на число: (если число = 0, то получим нулевую матрицу. Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы);

2. Сложение: суммой двух матриц одного размера , называется матрица c=a+b, каждый элемент которой равен cij = aij + bij, т.е. матрицы складываются поэлементно ;

3. Вычитание: разницей двух матриц одного размера называется матрица : C=A-B = A+(-1)*B;

4. Умножение: - это матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i–строки матрицы А на элементы j–столбца матрицы В. ( ВАЖНО: чтобы матрицы можно было перемножить, их размеры должны быть согласованны, т.е. кол-во столбцов 1-ой матрицы должны быть равны кол-ву строк 2-ой);

5. Возведение в степень (n- только натуральное число);

6. Транспонирование : под этой операцией понимают переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбы поменялись местами с сохранением порядка.

7. След матрицы: сумма диагональных элементов квадратной матрицы.

2 Вопрос.

Транспонированные матрицы.

Под операцией транспонирования понимают переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбы поменялись местами с сохранением порядка. Из этого следует, что , если размер матрицы А имеет размер m*n , то транспонированная матрица А' имеет размер n*m.

Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А.

Матрица совпадающая со своей транспонированной называется симметрической.

Матрица у которой aij=aji называет кососимметрической.

Свойства операции транспонирования :

(А')' = А;

(А+В)' = А'+В';

(αА)'=αА';

(АВ)'=В'А'.Вопрос 3 Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленомот элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).