Способы задания функции

Аналитический способ

Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например:   есть функция  . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением:  . При этом,   есть переменная, пробегающая область определения функции, а   — область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х иy могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество  яблоко, самолет, груша, стул  и множество  человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом:  (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество   и переменную y, пробегающую множество  , указанную функцию можно задать аналитически, как:  .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например:  , где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение   не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть   — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( ). Каждой точке функции сопоставим вектор:  . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Классификация элементарных функций.

Определение элементарной функции. Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями . Примером может являться функция  Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

Трансцендентные

Алгебраические

Иррациональные

Рациональные

Целые рациональные

Дробные рациональные

Элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Определение алгебраических функций. Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня. Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты. Например, функция   является алгебраической. Определение трансцендентной функции. Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций). К примеру,   - трансцендентная функция. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные . Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов). Пример целой рациональной функции:  .

Пример дробно-рациональной функции:  . ПРИМЕЧАНИЕ: Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например,   - целая рациональная функция, а не иррациональная. Определение иррациональной функции. Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня). Примером может являться функция  . ПРИМЕЧАНИЕ: Если вид функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция. К примеру,   - не иррациональная функция, а рациональная, так

как  ;  - не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так

как  .

37. Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax², y = xⁿ , y=xk, y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=ax y=logax , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Общий вид функции	Преобразования
y = f(x - b)	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
y = f(x + b)	влево, если b > 0; вправо, если b < 0.
y = f(x) + m	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
	Отражение графика
y = f( - x)	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x)	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)	При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)	При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
	Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |	При f(x) > 0 — график остаётся без изменений, при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )	При x 0 — график остаётся без изменений, при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.