34. Общее уравнение линии второго порядка
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
А·х2 + 2·В·х·у + С·у2 + 2·D·x + 2·E·y + F = 0, |
(12.1) |
где, коэффициенты A, B, C, D, E, F – любые не равные нулю одновременно числа и, кроме того, то есть А2 + В2 + С2 ≠ 0.
Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Пусть в прямоугольной системе координат Оxy задано уравнение (12.1) и пусть А·С – В2 ≠ 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (12.1) приводится к виду
A'·x''2 + C'·y''2 + F' = 0, |
(12.2) |
где А', С', F' — некоторые числа; (х''; y'') – координаты точки в новой системе координат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямоугольная система координат О'х'y' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оy, причем начало координат перенесено в точку О'(х0; y0). Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х';у') формулами х = х' + х0, у = у' + у0. В новых координатах уравнение (12.1) принимает вид:
A·x'2 + 2·B·x'·y' + C·y'2 + 2·D'·x' + 2·E'·y' + F' = 0, |
(13.3) |
где
D' = A·x0 + B·y0 + D; E' = B·x0 + C·y0 + E; F' = A·x02 + 2·B·x0·y0 + C·y02 + 2·D·x0 + 2·E·y0 + F.
В уравнении (12.3) коэффициенты D' и Е' обращаются в нуль, если подобрать координаты точки (х0; у0) так, чтобы выполнялись равенства
|
(12.4) |
Так как А·С – В2 ≠ 0, то система (12.4) имеет единственное решение относительно х0 , у0. Если пара чисел х0, у0представляет собой решение системы (12.4), то уравнение (12.3) можно записать в виде
А·х'2 + 2·В·х'·у' + С·у'2 + F' = 0. |
(12.5) |
Пусть теперь прямоугольная система координат О'х''у'' получена поворотом системы О'х'у' на угол α. Тогда координатых', у' будут связаны с координатами х'', у'' формулами
х' = х'' ·cos α − y''· sin α , y' = x'' ·sin α + y'' ·cos α.
В системе координат О'х''у'' уравнение (12.5) принимает вид
А'·х''2 + 2·В'·х''·у'' + С'·у''2 + F' = 0, |
(12.6) |
где
А' = А·cos2α + 2·B·cosα·sinα + C·sin2α;
B' = - A ·sin α· cos α + B ·(cos2α – sin2 α) + C· sin α ·cos α;
C' = A ·sin2 α − 2·B ·cos α· sin α + C ·cos2 α.
Выберем угол α так, чтобы коэффициент В' в уравнении (12.6) обратился в нуль. Это требование приводит к уравнению
2·В·cos 2α = (A – C)· sin 2α
относительно α . Если А = С, то cos2α = 0 и можно положить α = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем
и уравнение (12.6) принимает вид
A'·x''2 + C'·y''2 + F' = 0,
что и требовалось доказать. З а м е ч а н и е. Система (12.4) определяют центр линии второго порядка. Заметим, что необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы (12.4) является отличие от нуля числа Δ = A·С – В2, называемого определителем системы.
Инвариант (математика)
Инвариа́нт в математике — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов оставаться неизменными при преобразованиях определённого типа.