Семестр 02 / Шпоры по физике 2 сем / Билеты по физике / Билет 11

1. Вынужденные колебания. Резонанс

В случае, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, колебания описываются дифференциальным уравнением следующего вида:

Здесь  - коэффициент затухания, ₀ – собственная частота системы, f₀=F₀/m (F₀ - амплитуда вынуждающей силы),  - частота вынуждающей силы.

Т.к. уравнение вынужденных колебаний является неоднородным, то его решение состоит из суммы общего и частного решения. Общее решение нам известно:

.

Частное же решение будет выглядеть так:

.

Частное решение можно получить с помощью векторной диаграммы. Предположим частное решение имеет вид x=acos(t-), тогда:

Подставляя полученное в исходное уравнение (1) получаем:

В виде векторных диаграмм это будет выглядеть так ( случай а) - <₀; случай б) - >₀):

Из данных векторных диаграмм следует, что :

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Изображенная на рисунке совокупность графиков функций, соответствующих различным значениям параметра , называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания: при стремлении  к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному _{от нуля предельному значению, равному т.е. F0/k.}

Зависимость  от  при разных значениях  показан графически на графике (слева). Частоте 0 соответствует =/2. Резонансная частота меньше собственной. Следовательно в момент резонанса </2. При слабом затухании _рез₀, и значение  при резонансе можно считать равным /2.

2. Работа Газа при адиабатическом процессе

Если известна для некоторого обратимого процесса за­висимость давления газа от объема, т.е. функция p=f(V) работа, совершаемая в ходе этого процесса, вычисляется путем интегрирования: Здесь V₁ и V₂ — объем газа в начальном и конечном со­стояниях. Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через V. Для этого воспользуемся свя­зью между р и V при различных процессах.

Уравнение политропы идеального газа pVⁿ=const можно написать следующим образом: pV ⁿ=p₁V₁ⁿ=p₂V₂ⁿ, где р₁V₁ и р₂,V₂ — значения давления и объема газа со­ответственно в первом (начальном) и втором (конечном) состояниях, р и V — давление и объем в любом про­межуточном состоянии. Выразим в соответствии с этим соотношением давление газа через его объем и значения параметров в начальном состоянии: p=p₁V₁ⁿ/Vⁿ

Подстановка этого выражении в (1.54) дает: Рассмотрим сначала случай n1: тогда интеграл в (1.55) равен Подставив это значение интеграла в (1.55) и произведя несложные преобразования, получим Полученное выражение можно преобразовать, восполь­зовавшись тем, что, какой бы процесс ни происходил с идеальным газом, его параметры связаны уравнением со­стояния. В частности, это справедливо и для начального состояния: p₁V₁=(m/M)RT₁ (1.57). Приняв во внимание (1.57), напишем выражение (1.56) в виде Выражения (1.56) и (1.58) дают работу, совершаемую идеальным газом при любом политропическом процессе, кроме изотермического (соответствующего n=1). В частности, при адиабатическом процессе

3. Агрегатное состояние вещества. Теплоёмкость кристаллов. Закон Дюлонга-Пти.

Теплоемкость кристалла. Зная У(Г), находим, что теплоемкость единицы объема кристалла

Введем так называемую характеристическую температуру Дебая θ, определяемую условием

а также пешую переменную х — hv /kT. Тогда выражение для теплоемкости примет вид

где х_т = hv /kT = θ/T. Выражение называют формулой Дебая

Отметим еще, что дебаевская температура θ указывает для каждого твердого тела область температур (T<θ), где стано­вится существенным квантование энергии колебаний.

В основе классической теории теплоёмкости твёрдых тел лежит закон равно распределения энергии по степеням свободы. Твёрдое тело рассматривается как систему N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них приходиться в среднем энергии kT (kT/2 кинетической и kT/2 потенциальной). Имея в виду, что число колебательных степеней свободы 3N, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов U= 3NАkT = 3RT отсюда молярная теплоёмкость:

В этом суть закона Дюлонга-Пти, который утверждает, что молярная теплоёмкость всех химически простых твёрдых тел одинакова и равна 3R. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высоких температурах. Опыт показывает что при низких температурах теплоёмкость убывает, стремясь к нулю при Т -> 0, по закону C~T^3.