Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
24
Добавлен:
11.05.2014
Размер:
755.24 Кб
Скачать

1. Стоячие волны в струне с 2-мя закрепленными концами

2. Распределения Максвелла.

А) для вектора скорости:

 

 

vx vx , vx

 

v v, v dv vy vy , vy

Т.к.

 

vz vz , vz

 

 

 

 

 

f(v) (v x ) (v y ) (vz ) f(v)

dvx

dvy

dvz ,то

 

 

m

2

2

2

A exp

 

 

 

(v x

v y

vz )

2kT

 

 

 

 

 

 

Для выяснения способа, которым можно количественно описать распределение молекул по значениям скорости, воспользуемся следующим приѐмом. Возьмем в “воображаемом” пространстве, которое мы будем называть v-пространством (пространством скорости), прямоугольные координатные оси, по которым станем откладывать значения vx, vy и vz отдельных

молекул (имеются в виду компоненты по осям

x,

y и z, взятым в обычном

пространстве). Тогда скорости каждой молекулы будет

соответствовать точка в

этом пространстве. Из-за столкновений положения точек будут непрерывно

меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной (т.к.

рассматривается равновесное состояние газа). Вследствии равновесности всех

движений расположение точек относительно начала координат будет сферически

симметричным, следовательно, плотность точек v-пространстве может зависить только от модуля скорости v. Отсюда получаем:

d (v) f (v)4 v dv

2

dVv

F (U ) f (U )4 U 2

 

m

3 / 2

m(U x2 U y2 U z2 )

 

 

 

 

 

2kT

2

2

2

 

4a

 

e

 

dU x

U y

U z

)

 

 

 

2 kT

 

 

 

 

 

 

Б) для модуля скорости:

Найдем dw или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале [v, v+dv]. Таким молекулам соответствуют все точки попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv (рис. 1). Объем этого слоя равен V=4πv2dv. Объемная плотность вероятности во всех точках слоя одинакова, поэтому по теореме о сложении вероятностей, вероятность попадания в этот слой:

dP=f(v)·4πv2dv.

 

 

рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

mv2

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

F(v)=dP/dv=4πv

2

f(v)

F(v)= 4

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

2 kT

 

 

 

 

2kT

Это и есть закон распределения Максвелла по модулю скорости. Функция нормирована на единицу, т.е.:

F (v)dv 1

0

3.

Теплоемкость идеального газа при постоянном объеме и при постоянном давлении.

Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно

сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин. Аналитически это определение

 

C

 

 

d Q

(1.24)

 

записывается следующим образом:

тела

dT

Если нагревание производится при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянном объеме, то тело не совершает работы над внешними телами и, cледовательно, вся

теплота идет на приращение внутренней энергии тела: d QV=dU. Отсюда следует, что молярная

 

C

dUM

(V const)

(1.25)

 

теплоемкость любого вещества при постоянном объеме равна

 

В

V

dT

 

 

 

 

 

 

 

U

термодинамике подобные формулы принято записывать в виде CV M

T

Символ частной

V

производной, снабженный индексом V, указывает на то, что при дифференцировании функции UM по переменной Т объем предполагается постоянным.

Теплоемкость при постоянном давлении Ср бывает больше, чем CV, потому что при p=const нагреваемое тело расширяется и часть подводимой теплоты расходуется на совершение работы над внешними телами.

Внутренняя энергия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Поэтому

константу

в выражении

для

UM

можно отбросить. В результате получается формула

UM CV T

(1.27) Внутренняя энергия — величина аддитивная. Следовательно, внутренняя энергий

 

 

U

m

C T

(1.28)

Напишем уравнение d Q=dU + pdV для моля газа,

массы газа m будет равна

 

 

M

V

 

предположив, что теплота сообщается газу при постоянном давлении: d QP=dUM + pdVM Разделив это выражение на приращение температуры dT, которое получает газ при сообщении ему теплоты

d QP, придем

к

формуле для молярной теплоемкости газа при постоянном

давлении:

С

dUM

p

dVM

( p const)

 

 

 

 

Согласно формуле (1.25) слагаемое dUM/dT равно

молярной

P

dT

dT

 

 

 

 

 

 

 

 

теплоемкости при постоянном объеме. Учтя это и использовав применяемый в термодинамике

 

 

V

 

 

CP CV p

M

 

способ записи формул, придѐм к соотношению

T

 

P

 

Соседние файлы в папке Билеты по физике