22.Постановка и экономико-математическая модель закрытой транспортной задачи.

Имеется m пунктов производства однородного продукта с объемами производства A1,A2,…,Am. Имеется n пунктов потребления этого продукта с объемами потребления b1,b2,…,bn. Известны оценки С= (Cij) M*N транспортных затрат на перевозку единицы груза от i-того поставщика к j-тому потребителю (по коммуникации от i к j). Надо так прикрепить потребителей к поставщикам, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку груза. ЭММ ТЗ: Обозначим через Xij, i=1,m j=1,n объемы перевозок по коммуникации i→j, т.е. в рассмотрение вводится матрица X=(Xij)m*n.

Min ∑ ∑ Cij Xij

∑ Xij = Ai, i=1,m

∑ Xij = Bj, j=1,n

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является наличие баланса между спросом и предложением ∑Ai = ∑Bj. Если имеется такое равенство, то ТЗ называется закрытой.

24.Задача о назначениях, постановка и эмм.

С ее помощью можно получить ответ на вопрос типа Как распределить рабочих по станкам, чтобы общая выработка была наибольшей? Как наилучшим образом распределить экипажи самолетов? Как назначить людей на разные должности? Исходные данные группируются в таблице, которая называется матрицей оценок, а результаты – в матрице назначений. ЕЕ постановка: Имеется n –работников, которые могут выполнить n-работ, причем использование i-того работника на j-той работе приносит доход Cij. Требуется поручить каждому из работников выполнение одной вполне определенной работы, чтобы максимизировать суммарный доход. Задача в том, чтобы найти распределение X=(Xij) работников по работам, которое максимизирует ЦФ.

F(x)=∑∑Cij Xij → max

∑Xij=1, i=1,n (1)

∑Xij=1, j=1,n (2)

причем Xij= либо 0 либо 1 для всех i,j=1,n

Ограничение (1) отражает условие того, что за каждым работником может быть закреплена только одна работа, а ограничение (2) означает, что для выполнения каждой работы может быть выделен только один работник. При решении таких задач используются алгоритмы и методы решения транспортных задач, в частности метод потенциалов.

24. Задача о назначениях, постановка и ЭММ. Анализ полученных оптимальных решений. Приведенный ниже метод решения задачи о назначениях, слайдинг-метод, дает решение оптимально-неопределенное, если это определение не покажется странным. Дело в том, что в наш быстро скачущий век при решении экономических задач (а особенно большеразмерных) на первое место в понятии «оптимальность» встают понятия не «максимум» или «минимум», а время, затраченное на решение задачи. Как говорится, кто быстрее, тот и пан. Пусть даже этот пан и потеряет некоторую долю оптимальности при этом. Кроме того, мне не известны методы решения этой задачи с исходной матрицей размером до 120х120. Такая задача, да еще в приемлемое затраченное машинное время, под силу лишь компьютеру и такому алгоритму ее решения Алгоритм решения:

1. Во всех возможных элементарных матрицах, из которых состоит исходная матрица, расставляем приоритетные связи (Матрица 1);

2. Подсчитываем количество приоритетных связей, принадлежащих каждому из элементов исходной матрицы, и отображаем их в соответствующей матрице - матрице связей (Матрица 2);

3. В матрице связей выбираем элемент с максимальным значением количества приоритетных связей. Если таких элементов несколько, выбираем первый попавшийся на пути их анализа слева направо сверху вниз;

4. По координатам выбранного в матрице связей элемента находим элемент исходной матрицы и включаем его в целевую функцию;

5. Относительно этого же элемента матрицы связей проводим соответствующие вычеркивания.

6. Возвращаемся к пункту 3 и т.д. до тех пор, пока не будут вычеркнуты все элементы матрицы связей, а план решения и целевая функция не сформируются полностью.

27.Задачи нелинейного программирования. Графический метод решения ЗНП.

Рассмотрим ЗНП и способы её решения. Математическая модель ЗНП в общем виде формулируется следующим образом:

f =(x₁,x_2, …,х_n) → min (max). При этом переменные должны удовлетворять ограничениям:

g₁(x₁,x_2, …,х_n) ≤b₁,

…………………………

g_m(x₁,x_2, …,х_n) ≤b_m,

g_m+1(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_m+1,

…………………………

g_k(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_k,

g_k+1(x₁,x_2, …,х_n)=b_k+1,

………………………

g_p(x1,x_2, …,х_n)=b_p.

x₁,x_2,…,х_n ≥0, где хотя бы одна из функций f, g_i нелинейная.

Для ЗЛП нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к которым относятся метод множителей Лагранжа, градиентные методы, приближённые методы решения, графический метод.Рассмотрим основные идеи графического метода. Максимум и минимум достигается в точках касания линии уровня с областью допустимых решений (ОДР), которая задается системой ограничений. Например, если линии уровня - прямые, то точки касания можно определить, используя геометрический смысл производной.

29.Динамическое программирование. При решении, задачи разделяются на этапы:1) Необходимо описать процесс перехода производной эк-й системы из одного состояния в другое, при этом пред-т., что процесс должен быть Марковским. Этот процесс без посл-й т.е дальнейшее развитие процесса, если система находится в состоянии Sn, зависит только от данного состояния и не зависит от того, как система пришла в это состояние.Процесс длится опред-е число шагов N и на кажд шаге осущ-ся выбор одного управления Un, под воздействием к-го система перех-т с одного в др состояние.Sn , Un=U(n)*S(n) Каждый шаг т.е выбор очер-го решения связан с опред-м эф-м , к-й зависит от тек-го состояния. .Общий эффект за n шагов сумм-тся из эф-в на отд-х шагах т.е критерий оптим-ии должен быть адетивным. Основная идея- требуется для кажд шага найти Un, чтобы посл-ть U1,U2…UN приводила к max эффекту.Стратегия управления-любая допуст-я послед-ть решений. Основоположник Бэлман. Посл. Решения должны составлять оптим-ю стратегию, привяз-ся к этому состоянию : , Sn SN, где все допустимые напрвавления находившиеся в Sn, - эффект от принятия решения Un состояния.

4 Общая запись оптимизационной ЭММ. Оптим-е модели в эк-ке возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении. Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение. К-е состоит из Х=(Х1,Х2…Хn) к-е учитывало бы внутр возможности и внешние производ-й деят-ти объекта F(x) max (min) F-целевая ф-я(критерий оптимальности). В более развернутом виде задача усл-й оптимизации можно записать F(x)=F(x1,x2,…xn) max(min). План, к-й достовляет max(min) наз-тся оптимальным решением. ЭММ делится на:1) Макроэк-е,2)Микроэк-е,3)Аналитические,4)Нормативные. Этапы рения задач:1) постановка задачи:описание,суть;2)разработка мат-й модели;3) получение решения по модели: решение задачи.; 4)интерпритация результата и внедрение полученного решения. Основные принципы разработки ЭММ: 1)принцип адекватности, 2)принцип системности. Адэкватность модели – требование сглаж-го приблежения теорит-й модели к устойчивым сущ-м характеристикам и закономерностям исслед-го реального процесса или явления.

Системность предполагает интерпритацию объект, как большой системы и соот-о применения системного подхода к его исследованию.

Составление математической модели.

1) Цель – минимизация себестоимости раскроя.2) Параметры:п – число различных видов материала, поступающего на раскрой;d_j – количество материала j-го вида, m – число различных видов изделий, которые надо изготовить. b_j – число изделий i-го вида, l  – число различных способов раскроя;a_ijk – число изделий i-го вида, которое можно получить из единицы материала j-го вида при k-м способе раскроя;

c_jk – себестоимость раскроя единицы материала j-го вида k-м способом;3) Управляющие переменные x_jk – количество единиц материала j-го вида, раскраиваемых k-м способом;4) Область допустимых решений определяется ограничениями по количеству исходного материала (3.13), ограничениями по выпуску (3.14) и условиями неотрицательности управляющих переменных.